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Koordinatengleichung: Bitte um Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 So 07.01.2007
Autor: Snowie

Aufgabe
Kann bitte mal jemand schauen, ob das richtig ist? Danke :-)

Gegeben sind die Punkte A(1|0|0), B(1|1|-1) und C(0|-2|-2)auf der Ebene E

Geben Sie eine Koordinatengleichung von E an. Vereinfachen Sie zu einer ganzzahligen Darstellung. Geben Sie die Lösung in der Form a·x+b·y+c·z=d an.  

Mein Lösungsansatz:

[mm] \vec{x} [/mm] = (1/0/0) + r * (1/1/-1) + s * (0/-2/-2)

[mm] x_{1} [/mm] = 1 + r
[mm] x_{2} [/mm] = r - 2s
[mm] x_{3} [/mm] = -r  - 2s

[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 1 + 2s
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 1 - 2 s

[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 1 + 2s -1 - 2s

2 [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0



        
Bezug
Koordinatengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 So 07.01.2007
Autor: lene233

Hallo :-)

> Kann bitte mal jemand schauen, ob das richtig ist? Danke
> :-)
>  
> Gegeben sind die Punkte A(1|0|0), B(1|1|-1) und
> C(0|-2|-2)auf der Ebene E
>  
> Geben Sie eine Koordinatengleichung von E an. Vereinfachen
> Sie zu einer ganzzahligen Darstellung. Geben Sie die Lösung
> in der Form a·x+b·y+c·z=d an.  
> Mein Lösungsansatz:

r>
> [mm]\vec{x}[/mm] = (1/0/0) + r * (1/1/-1) + s * (0/-2/-2)
>  

Das ist leider falsch... :-( und daraufhin dann wohl auch deine weiteren Ergebnisse. ;-) Eine Ebene stellst du z.B. so auf:
[mm] \vec{x}=\vec{a}+r*\overrightarrow{AB}+s*\overrightarrow{AC} [/mm]

Also:

[mm] \vec{x}=\vec{a}+r*(\vec{b}-\vec{a})+s*(\vec{c}-\vec{a}) [/mm]

Stell dann nochmal deine Ebenengleichung auf

> [mm]x_{1}[/mm] = 1 + r
>  [mm]x_{2}[/mm] = r - 2s
>  [mm]x_{3}[/mm] = -r  - 2s
>  
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] = 1 + 2s
>  [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 1 - 2 s
>  
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 1 + 2s -1 - 2s
>  
> 2 [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 0
>  
>
>  

Aber ich hätte ehrlich gesagt auch bei deiner aufgestellten Ebenengleichung das raus:
[mm] -2x_{1}+x_{2}-x_{3}=2 [/mm]

lg lene
Bezug
                
Bezug
Koordinatengleichung: zweiter Versuch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Mo 08.01.2007
Autor: Snowie

Aufgabe
Gegeben sind die Punkte A(1|0|0), B(1|1|-1) und C(0|-2|-2)auf der Ebene E

Geben Sie eine Koordinatengleichung von E an. Vereinfachen
Sie zu einer ganzzahligen Darstellung. Geben Sie die Lösung
in der Form a·x+b·y+c·z=d an.  

Danke nochmals für den Tip. Hier der neue Versuch:

[mm] \vec{x} [/mm] = (1/0/0) + r (0/1/-1) + s (-1/-2/-2)

[mm] x_{1} [/mm] = 1 - s
[mm] x_{2} [/mm] = r - 2s
[mm] x_{3} [/mm] = -r - 2s

2 [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 2 - r
2 [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 2 + r
2 [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm]  + 2 [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 4

4 [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm]  - [mm] x_{3} [/mm]  = 4

So richtig?

Liebe Grüße
Renate


Bezug
                        
Bezug
Koordinatengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Mo 08.01.2007
Autor: statler

Mahlzeit Renate!

> Gegeben sind die Punkte A(1|0|0), B(1|1|-1) und
> C(0|-2|-2)auf der Ebene E
>
> Geben Sie eine Koordinatengleichung von E an. Vereinfachen
> Sie zu einer ganzzahligen Darstellung. Geben Sie die Lösung
> in der Form a·x+b·y+c·z=d an.  
>
> Danke nochmals für den Tip. Hier der neue Versuch:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = (1/0/0) + r (0/1/-1) + s (-1/-2/-2)
>  
> [mm]x_{1}[/mm] = 1 - s
>  [mm]x_{2}[/mm] = r - 2s
>  [mm]x_{3}[/mm] = -r - 2s
>  
> 2 [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] = 2 - r
>  2 [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 2 + r
>  2 [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm]  + 2 [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 4
>  
> 4 [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm]  - [mm]x_{3}[/mm]  = 4
>  
> So richtig?

Das ist erstens richtig und zweitens kannst du doch ganz leicht selbst die Probe machen (durch Einsetzen):

r=0, s=0; r=1, s=0; r=0, s=1 gibt A, B und C
und unten einfach die Punktkoordinaten einsetzen

Gruß aus HH-Harburg
Dieter




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