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| Aufgabe | [mm] $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ [/mm] sind die Mittelpunkte der Seiten eines Vierecks [mm] P_{1}(x_{1}|y_{1}), P_{2}(x_{2}|y_{2}), P_{3}(x_{3}|y_{3}), P_{4}(x_{4}|y_{4}). [/mm] Was fällt auf, wenn man die Punkte [mm] $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ [/mm] zu einem neuen Viereck verbindet?
Weise die Vermutung nach. |
hallo,
also ich habe mir das mal in ein KOS gezeichnet, und mir ist aufgefallen, dass immer ein parallelogramm entsteht... das stimmt doch, oder?
ich weiß nicht, warum das so ist, also weiß ich auch nicht, wie ich das nachweisen kann... aber ich finde diese tatsache, dass da immer ein parallelogramm entsteht interessant, könnte mir vll jemand helfen?
viele grüße
informacao
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Hiho,
fangen wir mal an:
[mm] M_i [/mm] = Mittelpunkt auf Seite [mm] P_i
[/mm]
Bei einem Viereck wissen wir: [mm] \vec{P_1} [/mm] + [mm] \vec{P_2} [/mm] + [mm] \vec{P_3} [/mm] + [mm] \vec{P_4} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Wir "laufen" also einmal ums Viereck und kommen, wenn wir einmal rumgelaufen sind, da an, wo wir losgegangen sind.
[mm] \gdw \vec{P_1} [/mm] + [mm] \vec{P_2} [/mm] = - [mm] (\vec{P_3} [/mm] + [mm] \vec{P_4}) [/mm] (brauchen wir später)
Betrachten wir nun mal die Längen der Verbindungsgeraden der Mittelpunkte: (Länge eines Vektors = Betrag des Vektors)
[mm] |\overrightarrow{M_1M_2}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{2}\vec{P_1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\vec{P_2} [/mm] | = [mm] \bruch{1}{2} |\vec{P_1} [/mm] + [mm] \vec{P_2}|
[/mm]
Die "gegenüberliegende" Verbindungsgerade:
[mm] |\overrightarrow{M_3M_4}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{2}\vec{P_3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\vec{P_4}| [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} |\vec{P_3} [/mm] + [mm] \vec{P_4}| [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} |-(\vec{P_1} [/mm] + [mm] \vec{P_2})| [/mm] (siehe oben)
= [mm] \bruch{1}{2} |\vec{P_1} [/mm] + [mm] \vec{P_2}| [/mm] (da Betrag)
Und schon sieht man
[mm] |\overrightarrow{M_1M_2}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{M_3M_4}|
[/mm]
Die Gegenüberliegenden Seiten sind also gleich lang (für die anderen beiden Seiten läuft der Beweis analog).
Da gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, handelt es sich bei der Figur also um ein Parallelogramm.
Gruß,
Gono.
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hmmm...stimmt schon, aber wir hatten das mit den vektoren noch nicht...geht das auch anders??
viele grüße
informacao
kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 05.09.2006 | | Autor: | Informacao |
gibt es denn da noch andere möglichkeiten?
viele grüße
informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Di 05.09.2006 | | Autor: | riwe |
ja das geht einfacher, wenn du die strahlensätze schon kennst.
zunächst sind die beiden dreiecke DBC und M_2M_3C ähnlich (SWS)
schau dir im dreieck DBC die strecke [mm] M_2M_3 [/mm] an, da sie die mittelpunkte der seiten BC bzw. CD verbindet ist sie (strahlensatz) parallel zu DB und genau halb so lang. dasselbe gilt im dreieck DBA für [mm] M_1M_4 [/mm] usw.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hi neee...das verstehe ich nicht, wie löse ich das rechnerisch??
ich hab grad ein blackout...wie geht das?
viele grüße
informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Di 05.09.2006 | | Autor: | riwe |
was willst du denn da noch rechnen???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Di 05.09.2006 | | Autor: | Informacao |
ja sorry, aber ich dachte man kann das rechnerisch machen...?
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> hi neee...das verstehe ich nicht, wie löse ich das
> rechnerisch??
>
mit der Vektorrechnung, die Ihr offenbar noch nicht kennt.
Gruß informix
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