Koordinatenform einer Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 So 24.02.2008 | | Autor: | sage |
Hallo, ich wollte mal wissen
1. wie kann man von einer parametergleichung auf eine Koordinatenglichung einer Gerade kommen
2. Geht das überhaupt im Raum (x/y/z) ?
3. Ich brauche das z.b zur abstandsberechnung pkt - Gerade um in eine hessische Normalenform einzuseten!
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 So 24.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Soweit ich weiß, kann ich leider sowohl a) als auch b) verneinen.
Ich bekomme beim Lösen von Schnitten von Ebenen mit meinem CAS ein Ergebnis, welches einer Koordinatenform ähnelt, jedoch ist das konkrete Transformieren einer Geraden von der Parameter in die Koordinatenform relativ unmöglich.
Man arbeitet bei der Bestimmung von Abstand Gerade - Punkt mit dem Lot- Fußpunkt verfahren, für welches du auch bereits die Normalenform einer Ebene kennen müsstest.
Dann würde man eine zur Geraden orthogonale Ebene mit deinem Punkt P (dessen Abstand du zur Geraden g bestimmen willst) als Aufpunkt-/ Stützvektor wählen und diese Ebene mit der Geraden schneiden lassen.
Dann würde man mit der normalen Abstandsformel den Abstand zwischen P und dem soeben ermittelten Schnittpunkt F (man nennt ihn nun den Lot- Fußpunkt) berechnen und hätte seinen Abstand.
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 24.02.2008 | | Autor: | sage |
mh okay ja das lösungsschema kann ich fast nachvollziehen.
in meinem Tafelwer steht:
Abstand Pkt-Gerade
Ax1 +By1+C /
[mm] \wurzel{A² +B²}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:07 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
im 2-dimensionalen ist es, wenn auch nicht so üblich, möglich.
Parametergl.: [mm] \vec{x}=\vektor{a\\b}+r*\vektor{c\\d}
[/mm]
Dann ist
[mm] \left[\vec{x}-\vektor{a\\b}\right]*\vektor{d\\-c}=0 [/mm] die Normalengl. , wobei [mm] \vektor{d\\-c}\perp\vektor{c\\d}
[/mm]
D.h. die Koord.gl. ist
[mm] dx_1-cx_2+(-ad+bc)=0
[/mm]
Normiert man noch [mm] \vektor{d\\-c}, [/mm] dann erhält man die Formel aus dem Tafelwerk.
Im 3-dim. Fall, wird durch die Koordinatengleichung eine Ebene bestimmt.
Man müsste also zwei Gleichungen aufstellen. Damit wäre die Gerade als Ebenenschnitt definiert. Auch nicht gerade so üblich. Und zur Abstandsberechnung nicht richtig zu gebrauchen.
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:32 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
1) du kannst dir ein Hilfskonstrukt bauen. D.h. du brauchst irgendwelche geoemtrischen Hilfsmittel, um den Abstand zu berechnen. Nur Nebenbei: Wenn du Abstand Gerade/Ebene berechnen willst, dann muss die Gerade schon parallel sein, denn sonst schneidet die Gerade die Ebene. Da kannst du dann eine Hilfsgerade nehmen etc., ich denke, dass ihr diese Vorstellungen shcon alle in der Schule gehabt haben müsstet.
2) Orthogonale Projektion mit Hilfe einer Projktionsmatrix.
Stell dir eine Ebene vor, und einen Vektor. Nun willst du den Vektor auf eine Ebene Projizieren. D.h. du zerlegst den Vektor in eine (eindeutige) Summe von einem Vektor, der auf der Ebenen liegt, und der andere Teil liegt dann senkrecht auf dem Vektor. Das kann man berechnen und dann mit Hilfe der Länge des anderen Vektors den Abstand berechnen. Das ist zwar mathematisch schöner m.E. nach formuliert, weil es dafür einen "Formalsimus" gibt, aber ist nahezu genau gleich viel Arbeit, als wenn du dir einmal die Hilfskonstrukte ausdenkst, und mit denen rechnest.
Aber ich wollte nur mal schnell erzählen, dass es noch diese zweite Möglichkeit zur Abstandsbestimmung gibt.
LG
Kroni
|
|
|
|
