Koordinaten von Polynomen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:13 So 08.12.2013 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Betrachten Sie im reellen Vektorraum V3 der Polynome mit reellen Koeffizienten vom
Grad kleiner oder gleich drei die Polynome
pj = [mm] (1-X)^j [/mm] j Element (0,1,2,3)
q1 = [mm] X^2-X
[/mm]
q2 = [mm] X^3-1
[/mm]
a) Geben Sie die Koordinaten von q1 und q2 bezüglich der geordneten Basis B =
(p0; p1; p2; p3) an (es darf vorausgesetzt werden, dass B eine Basis ist).
b)Beweisen Sie, dass q1; q2 linear unabhängig sind und ergänzen Sie die Menge (q1; q2)
durch Elemente von B zu einer Basis von V3.
Begründen Sie Ihre Ergebnisse. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Meine Lösung:
a) Ich mache einen Koeffizientenvergleich der Form (für q1):
[mm] aX^3+bX^2+cX+d [/mm] = [mm] y2X^2+y3X [/mm] weil die gegebene Basis auch jederzeit zu [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] umgeformt werden kann. Dann komme ich auf (0,1,-1,0)
Für q2 analog (1,0,0,-1)
b) Man kann die gerade Bestimmten Koordinaten bezüglich der geordneten Basis verwenden: a(0,1,-1,0)+b(1,0,0,-1)=(0,0,0,0) ist offensichtlich nur für a=b=0 erfüllt. Um zur Basis zur Ergänzen muss man nur überprüfen mit welchen Ergänzungen man alle Elemente der geordneten Basis darstellen kann. Dies ist z.B. möglich mit [mm] (1,x,(x^2-x),(x^3-1)) [/mm] weil [mm] x^2= (x^2-x)-x
[/mm]
und [mm] x^3=(x^3-1)-1
[/mm]
Sind diese Lösungen korrekt und was müsste ich eventuell noch an Begründungen schreiben?
Vielen Dank schonmal.
|
|
| |
|
> Betrachten Sie im reellen Vektorraum V3 der Polynome mit
> reellen Koeffizienten vom
> Grad kleiner oder gleich drei die Polynome
>
> pj = [mm](1-X)^j[/mm] j Element (0,1,2,3)
>
> q1 = [mm]X^2-X[/mm]
>
> q2 = [mm]X^3-1[/mm]
>
> a) Geben Sie die Koordinaten von q1 und q2 bezüglich der
> geordneten Basis B =
> (p0; p1; p2; p3) an (es darf vorausgesetzt werden, dass B
> eine Basis ist).
>
> b)Beweisen Sie, dass q1; q2 linear unabhängig sind und
> ergänzen Sie die Menge (q1; q2)
> durch Elemente von B zu einer Basis von V3.
>
> Begründen Sie Ihre Ergebnisse.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Meine Lösung:
> a) Ich mache einen Koeffizientenvergleich der Form (für
> q1):
>
> [mm]aX^3+bX^2+cX+d[/mm] = [mm]y2X^2+y3X[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich verstehe nicht, was Du tust.
Du mußt a,b,c,d finden mit
X^2-X=a(1-X)^0+b(1-X)^1+c(1-X)^2+d(1-X)^3,
der Koordinatenvektor bzgl B ist dann \vektor{a\\b\\c\\d).
> weil die gegebene Basis auch
> jederzeit zu [mm](1,x,x^2,x^3)[/mm] umgeformt werden kann. Dann
> komme ich auf (0,1,-1,0)
Schauen wir mal:
[mm] \vektor{0\\1\\-1\\0}=1*(1-X)-1*(3X-3X^2+X^31-X)^2=1-X-1+2X-X^2=X-X^2\not=q_1.
[/mm]
> Für q2 analog (1,0,0,-1)
[mm] =(1-X)^0-(1-X)^3=1-1+3X-3X^2+X^3=3X-3X^2+X^3\not=q_2
[/mm]
>
> b) Man kann die gerade Bestimmten Koordinaten bezüglich
> der geordneten Basis verwenden:
> a(0,1,-1,0)+b(1,0,0,-1)=(0,0,0,0) ist offensichtlich nur
> für a=b=0 erfüllt.
Das kann man so machen.
Man kann aber auch vorrechnen, daß
aus [mm] aq_1+bq_2=0 [/mm] folgt a=b=0.
> Um zur Basis zur Ergänzen muss man
> nur überprüfen mit welchen Ergänzungen man alle Elemente
> der geordneten Basis darstellen kann.
So kann (!) man das machen.
> Dies ist z.B.
> möglich mit [mm](1,x,(x^2-x),(x^3-1))[/mm] weil [mm]x^2= (x^2-x)-x[/mm]
> und
> [mm]x^3=(x^3-1)-1[/mm]
Die Überlegung stimmt, aber Du solltest auch unbedingt vorrechnen, daß [mm] (1,x,(x^2-x),(x^3-1)) [/mm] linear unabhängig ist und dann sagen: diese 4 linear unabhängige Vektoren sind eine Basis, denn [mm] V_3 [/mm] hat die Dimension 4.
LG Angela
>
> Sind diese Lösungen korrekt und was müsste ich eventuell
> noch an Begründungen schreiben?
> Vielen Dank schonmal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 So 08.12.2013 | | Autor: | Cccya |
Vielen Dank für deine Antwort. Wir haben das bei uns glaube ich so eingeführt dass beim Koeffizientenvergleich vom höchsten Polynom zum niedrigsten gezählt wird. Deshalb ist a bei mir die Koordinate bezüglich [mm] (1-X)^3 [/mm] und b die bezüglich [mm] (1-X)^2 [/mm] usw. So komme ich dann auf:
[mm] 0*(1-X)^3+1*(1-X)^2+-1*(1-X)+0*1 [/mm] = [mm] 1-2X+X^2 -1+X=X^2-X=q1
[/mm]
Ich sehe aber auch grad dass ich bei meinem Ansatz nen Schreibfehler drin habe, kein Wunder dass dir der merkwürdig vorkam :D.
Zu b): Ist die lineare Unabhängigkeit nicht schon klar weil eine Basis maximale lineare Teilmenge und minimales Erzeugendensystem ist und wenn daher die geordnete Basis 4 Elemente hat dann muss jedes andere Erzeugendensystem auch mindestens 4 linear unabhängige Elemente haben? Erzeugendensystem ist ja gezeigt weil die geordnete Basis dargestellt werden kann und weniger als 4 linear unabhängige Elemente sind nicht möglich.
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für deine Antwort. Wir haben das bei uns
> glaube ich so eingeführt dass beim Koeffizientenvergleich
> vom höchsten Polynom zum niedrigsten gezählt wird.
> Deshalb ist a bei mir die Koordinate bezüglich [mm](1-X)^3[/mm] und
> b die bezüglich [mm](1-X)^2[/mm] usw. So komme ich dann auf:
>
> [mm]0*(1-X)^3+1*(1-X)^2+-1*(1-X)+0*1[/mm] = [mm]1-2X+X^2 -1+X=X^2-X=q1[/mm]
Hallo,
beim Koordinatenvektor kommt es auf die Reihenfolge der Basisvektoren in der Basis an.
Hier war gegeben:
>B =(p0; p1; p2; p3)
mit [mm] p_j:=(1-X)^j,
[/mm]
und deshalb ist der Koordinatenvektor von [mm] p_1 [/mm] der Vektor [mm] \vektor{0\\-1\\1\\0}.
[/mm]
Das ist nicht verhandelbar...
> Zu b): Ist die lineare Unabhängigkeit nicht schon klar
> weil eine Basis maximale lineare Teilmenge
linear unabhängige Teilmenge
> und minimales
> Erzeugendensystem ist und wenn daher die geordnete Basis 4
> Elemente hat dann muss jedes andere Erzeugendensystem auch
> mindestens 4 linear unabhängige Elemente haben?
Ja.
Du kannst es schon so machen:
> Erzeugendensystem ist ja gezeigt weil die geordnete Basis
> dargestellt werden kann
Weil die Standardbasis dargestellt werden kann, ist es ein Erzeugendensystem.
Es ist auch ein minimales Erzeugendensystem,
aber das müßte noch nachvollziehbar begründet werden. (Nicht unbedingt im Forum, aber auf Deinem Lösungsblatt)
LG Angela
> und weniger als 4 linear
> unabhängige Elemente sind nicht möglich.
|
|
|
|
