Koordinaten von Elementarpolyn < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:09 So 22.07.2007 | | Autor: | Incibus |
| Aufgabe | Gegeben sei der Vektorraum [mm] \mathcal{P}_{n}:=\{f:\IR\to\IR|f(x):=\summe_{j=0}^{n}a_{j}x^{j}, a_{j}\in\IR\} [/mm] der Polynome vom Grad kleiner gleich n.
a) Zeigen sie, dass [mm] \mathcal{P}_{2} [/mm] ein UVR des Vektorraumes [mm] F:=\{ f : \IR\to\IR|\text{f ist eine Funktion}\} [/mm] ist.
b) Zeigen Sie, dass [mm] B:=\{p_{0},p_{1},p_{2}\} [/mm] mit [mm] p_{i}(x):=x^{i} [/mm] eine Basis von [mm] {P}_{2} [/mm] ist und geben sie die Koordinaten von [mm] v_{1}(x):=3x^{2}+x+5 [/mm] und [mm] v_{2}:=-2x^2+6 [/mm] bzgl. B an.
c) Sei [mm] A:=\{q_{1},q_{2},q_{3}\} [/mm] mit [mm] q_{1}(x):=x^2+x+1 [/mm] , [mm] q_{2}(x):=x^2+x [/mm] , [mm] q_{3}(x):=x^2 [/mm] .
Ist A eine Basis von [mm] {P}_{2} [/mm] ( Begründung)? Geben sie gegebenenfalls die Koordinaten der Elementarpolynome bzgl. A an. |
zu a und b habe ich keine ahnung.
zu c) hier würde ich die einzelnen Elemente [mm] q_{1},q_{2},q_{3} [/mm] auf lineare unabhängigkeit überprüfen um festzustellen ob sie eine Basis bilden.Jedoch hab ich keine Ahnung wie ich die Koordinaten der Elementarpolynome angebe.
Wäre super, wenn ihr mir weiterhelfen könnt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 So 22.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
a) Offensichtlich ist [mm] P_{2}\in\mathcal{F}, [/mm] da jedes Polynom eine Fukntion von [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR [/mm] ist. Jetzt sollst du die UVR-Eigenschaften nachweisen:
i) f, [mm] g\in P_{2} [/mm] beliebig, dann ist auch [mm] f+g\in P_{2};
[/mm]
ii) [mm] f\in P_{2}, \lambda\in\IR [/mm] beliebig, dann ist auch [mm] \lambda*f\in P_{2}.
[/mm]
b) B ist die Standardbasis von [mm] P_{2}. [/mm] Du sollst zeigen, dass für ein beliebiges [mm] p\in P_{2} f=\lambda_{0}*p_{0}+\lambda_{1}*p_{1}+\lambda_{2}*p_{2}=\lambda_{2}*x^{2}+\lambda_{1}*x+\lambda_{0} [/mm] für geignete [mm] \lambda_{i}\in\IR [/mm] gilt.
Für [mm] v_{1,2} [/mm] sucht man eben diese passende Lambdas.
c) Hier kannst du entweder wie in b) vorgehen - also zeigen, dass jedes Polynom zweiten Grades, oder niedriger, durch die Kandidat-Basis linear-kombinierbar ist, oder zeigen, dass [mm] q_{1,2,3} [/mm] linear unabhängig sind, da du von b) weißt, dass [mm] \dim(P_{2})=3.
[/mm]
Noch eine Anmerkung:
Ein beliebiges Polynom [mm] p\in P_{2} [/mm] hat man sich so vorzustellen: [mm] p(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] für a, b, c [mm] \IR [/mm] beliebig.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 22.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Irgendwie weiss ich immer noch nciht, was zu tun ist...
Wie sehen denn [mm] p_{0}, p_{1},p_{2} [/mm] mit [mm] p_{i}(x):=x^i [/mm] aus?
[mm] p_{0}= 0*x^{2}+0x+c [/mm] , [mm] p_{1}= 0x^{2}+bx+c [/mm] und [mm] p_{2}=ax^{2}+bx+c [/mm]
und wie suche ich jetzt nach den Lambdas?
Sind in Teil c) die Koordinaten der Elementarpolynome: [mm] q_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1},q_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, q_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}??
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 So 22.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Irgendwie weiss ich immer noch nciht, was zu tun ist...
> Wie sehen denn [mm]p_{0}, p_{1},p_{2}[/mm] mit [mm]p_{i}(x):=x^i[/mm] aus?
> [mm]p_{0}= 0*x^{2}+0x+c[/mm] , [mm]p_{1}= 0x^{2}+bx+c[/mm] und
> [mm]p_{2}=ax^{2}+bx+c[/mm]
Nein. [mm] p_{0}=1, p_{1}=x, p_{2}=x^{2}.
[/mm]
> und wie suche ich jetzt nach den Lambdas?
[mm] ax^{2}+bx+c=\lambda_{0}*p_{0}+\lambda_{1}*p_{1}+\lambda_{2}*p_{2}=\lambda_{2}*x^{2}+\lambda_{1}*x+\lambda_{0}
[/mm]
> Sind in Teil c) die Koordinaten der Elementarpolynome:
> [mm]q_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1},q_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, q_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}??[/mm]
Nein, aber gut gedacht. Das sind die Koordinaten von [mm] q_{1,2,3} [/mm] bezüglich B aus b). Du sollst es eben andersrum machen - die Koordinaten von [mm] p_{1,2,3} [/mm] bzgl. A, d.h. jedes [mm] p_{i} [/mm] als Linearkombination von [mm] q_{1,2,3} [/mm] schreiben. Die Skalare in der jeweiligen Darstellung als LinKo. sind dann die Koordinaten.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 22.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Sind dann die Koordinaten von [mm] v_{1}(x)=\vektor{5 \\ 1 \\ 3} [/mm] und [mm] v_{2}(x)=\vektor{6 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
c) verstehe ich dann trotz deiner hilfe immer noch nicht :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 So 22.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Sind dann die Koordinaten von [mm]v_{1}(x)=\vektor{5 \\ 1 \\ 3}[/mm]
> und [mm]v_{2}(x)=\vektor{6 \\ 0 \\ -2}[/mm]
Jep!
> c) verstehe ich dann trotz deiner hilfe immer noch nicht
> :-(
Beispiel: Die Koordinaten von [mm] p_{1} [/mm] bzgl. A angeben:
a, b, c sind zu bestimmen mit [mm] p_{1}=\vektor{a \\ b \\ c \\}.
[/mm]
[mm] p_{1}=x=a*q_{1}+b*q_{2}+c*q_{3}=a*x^{2}+a*x+a+b*x^{2}+b*x+c*x^{2}=(a+b+c)*x^{2}+(a+b)*x+a
[/mm]
Unmittelbar ist klar, dass a=0, a+b=1, a+b+c=0. Also ist [mm] p_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 22.07.2007 | | Autor: | Incibus |
>
> Unmittelbar ist klar, dass a=0, a+b=1, a+b+c=0. Also ist
> [mm]p_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ -1 \\}.[/mm]
>
das ist mir immernoch nicht klar, woher weiss ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 22.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
[mm] x=(a+b+c)x^{2}+(a+b)x+a [/mm] - soweit dürfte alles klar sein, oder?
Jetzt will man a, b und c so wählen, dass auf der rechten Seite x steht. Das heißt alle Konstanten und [mm] x^{2} [/mm] müssen auf der rechten Seite verschwinden. Deswegen muss a+b+c=0 und a=0 sein. Da wir außerdem genau ein x rechts haben wollen, muss a+b=1. Das ist also ein simples LGS:
a=0
a+b=1
a+b+c=0.
Das ergibt durch Einsetzen von oben nach unten a=0, b=1, c=-1, was die Koordinaten sind.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 So 22.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Vielen Dank, nun ist es mir klar 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 So 22.07.2007 | | Autor: | Incibus |
Abschliessend dann jetzt die Frage von mir, ob [mm] p_{0}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, p_{2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 22.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Abschliessend dann jetzt die Frage von mir, ob
> [mm]p_{0}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, p_{2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> sind?
>
Alles richtig :)
Gruß,
dormant
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