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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:05 Do 10.12.2015 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Sei Q konvexes Gebiet in der Ebene. Betrachte den Fluss [mm] $\Phi^t$ [/mm] auf $Q [mm] \times S^1$, [/mm] der eine freie Bewegung des eines Partikels auf dem Gebiet Q mit elastischen Reflektionen am Rand von Q (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) darstellt.
Dieser Fluss hat eine Karte $T: M [mm] \rightarrow [/mm] M$ wobei $M = [mm] \partial [/mm] Q [mm] \times [/mm] [0, [mm] \pi]$. [/mm] Der Raum M ist also die Menge der Einheitstangenten am Rand von Q.
Es können nun Koordinaten $(s, [mm] \varphi)$ [/mm] eingeführt werden, wobei s der Bogenlängenparameter modulo p (der Umfang von [mm] $\partial [/mm] Q$) ist, und [mm] $\varphi \in [0,\pi]$ [/mm] ist der Winkel den der Einheitsgeschwindigkeitsvektor mit der Tangente am Rand bildet.
Die Karte T erhält das Maß [mm] $\mu [/mm] = [mm] \sin\varphi dsd\varphi$. [/mm] Das Maß erhält man von [mm] $\nu$ [/mm] (Liouville-Maß?) durch das innere Produkt mit dem Geschwindigkeitsvektorfeld des Flusses [mm] $\Phi^t$. [/mm] Daraus folgt:
[mm] $\int_M \tau [/mm] (x) [mm] d\mu [/mm] (x) = [mm] \nu(Q\times S^1) [/mm] = [mm] \text{Area}(Q)2\pi$
[/mm]
wobei [mm] $\tau [/mm] (x)$ für [mm] $x\in [/mm] M$ ist der die Zeit bis zur nächsten Kollision. |
Hallo
Ich hänge gerade an einigen oben gestellten Formulierungen:
Frage 1:
Wie findet man diese Koordinaten. Was genau bedeutet der hier der Bogenlängenparamter?
Frage 2:
Da ich bei Maßen gar nicht fit bin weiß ich nicht was ich tun muss um zu zeigen dass das Maß [mm] $\mu$ [/mm] erhalten bleibt, und mir ist auch nicht klar wie man es erhält. Außerdem verstehe ich die Folgerung nicht.
Könnt ihr mir da Tipps geben?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 10.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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