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| Aufgabe | Sei [mm] x_{0}=-4, x_{1}=-2, x_{2}=0 [/mm] und [mm] x_{3}=4. [/mm] Die Polynome [mm] L_{i}(x) [/mm] seien die Lagrange-Grundpolynome zu den gegebenen x-Werten und bilden eine Basis des Raums der Polynome 3. Grades.
Bestimmen Sie die Koordinaten von [mm] p(x)=x^{3}-2x+1 [/mm] bezüglich [mm] L_{0} [/mm] bis [mm] L_{3} [/mm] (die Lagrange-Polynome sollen dafür NICHT ermittelt werden). |
Hallo zusammen,
wenn ich bisher die Koordinaten bezüglich einer bestimmten Basis ermittelt habe, hab ich immer den Ansatz
[mm] A*\vec{a}=\vec{x}
[/mm]
(Basis A*Koordinaten bezgl. Basis A=Koordinaten bezgl. Standardbasis)
benutzt. Beide Seiten der Gleichung werden mit [mm] A^{-1} [/mm] multipliziert, ich erhalte über [mm] \vec{a}=A^{-1}*\vec{x} [/mm] die gesuchten Koordinaten.
Bei der vorliegenden Aufgabe komm ich damit allerdings nicht weiter, weil ich keine Idee hab, wie ich die Lagrange-Basis invertieren soll. Und was soll ich mit den Stützstellen anfangen?
Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo Palisaden-Honko,
> Sei [mm]x_{0}=-4, x_{1}=-2, x_{2}=0[/mm] und [mm]x_{3}=4.[/mm] Die Polynome
> [mm]L_{i}(x)[/mm] seien die Lagrange-Grundpolynome zu den gegebenen
> x-Werten und bilden eine Basis des Raums der Polynome 3.
> Grades.
>
> Bestimmen Sie die Koordinaten von [mm]p(x)=x^{3}-2x+1[/mm]
> bezüglich [mm]L_{0}[/mm] bis [mm]L_{3}[/mm] (die Lagrange-Polynome sollen
> dafür NICHT ermittelt werden).
> Hallo zusammen,
>
> wenn ich bisher die Koordinaten bezüglich einer bestimmten
> Basis ermittelt habe, hab ich immer den Ansatz
>
> [mm]A*\vec{a}=\vec{x}[/mm]
> (Basis A*Koordinaten bezgl. Basis A=Koordinaten bezgl.
> Standardbasis)
> benutzt. Beide Seiten der Gleichung werden mit [mm]A^{-1}[/mm]
> multipliziert, ich erhalte über [mm]\vec{a}=A^{-1}*\vec{x}[/mm]
> die gesuchten Koordinaten.
>
> Bei der vorliegenden Aufgabe komm ich damit allerdings
> nicht weiter, weil ich keine Idee hab, wie ich die
> Lagrange-Basis invertieren soll. Und was soll ich mit den
> Stützstellen anfangen?
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Nun das Polynom [mm]p\left(x\right)[/mm] schreibt sich
mit Hilfe der Lagrange-Polynome so:
[mm]p\left(x\right)=y_{0}*L_{0}\left(x\right)+y_{1}*L_{1}\left(x\right)+y_{2}*L_{2}\left(x\right)+y_{3}*L_{3}\left(x\right)[/mm]
Nutze jetzt die Eigenschaften der Lagrange-Polynome aus.
Gruß
MathePower
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