Konvexität und Konkavität von Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:47 Do 15.07.2004 | | Autor: | Schokolade |
Hallo an euch alle!
Ich muss morgen einen Übungszettel abgeben und weiß nicht so genau, wie ich diesen einen Aufgabenteil lösen muss... Könntet ihr mir dabei helfen?
Also: Es geht um Konvexität und Konkavität von Funktionen
a) Zeige: Es sei D [mm] \in \IR [/mm] ein Intervall und f, g: D --> [mm] \IR [/mm] konvex. Dann sind auch f+g, max (f, g) und -falls f positiv- f² konvex
b) Bestimme die maximalen Intervalle, in denen die folgenden Funktionen konvex sind: (iii) f(x)=(|x|-1)², x [mm] \in \IR
[/mm]
Bei b) konnten wir (i) und (ii) zwar lösen, aber (iii) fällt uns doch noch schwer... Hat jemand von euch Hilfe für uns?
Ich danke euch schon sehr im Voraus!
Viele Grüße, Anne
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Do 15.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Anne,
> Also: Es geht um Konvexität und Konkavität von Funktionen
Könntest du bitte noch nachreichen, wie ihr die Kenvexität von Funktionen erklärt habt? Über die zweite Ableitung?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Do 15.07.2004 | | Autor: | birte |
Hallo Marc,
ich bin zwar nicht die Urheberin dieser Frage, bin aber im gleichen Kurs und daher sehr an der Antwort interessiert!
Nun aber zunächst zu Deiner Frage:
Wir haben Konvexität ungefähr so eingeführt:
F heiß konvex, wenn für alle [mm] x_1, x_2\in\ID [/mm] (Intervall) und für alle [mm] \lambda \in]0,1[:
[/mm]
f( [mm] \lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)
[/mm]
Und, wie Du schon vermutet hast, über die 2. Ableitung:
falls f zweimal diff.bar, dann:
f konvex [mm] \gdw f''(x)\ge0 [/mm] für alle [mm] x\in\ID
[/mm]
Ich hoffe, dies waren die nötigen Informationen, die man für die Lösung der Aufgabe wissen muss, mir jedenfalls haben sie noch nicht auf die Sprünge geholfen.
Danke schon mal für Dein Interesse
Grüße
birte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Do 15.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Anne und Birte!
> ich bin zwar nicht die Urheberin dieser Frage, bin aber im
> gleichen Kurs und daher sehr an der Antwort interessiert!
> Nun aber zunächst zu Deiner Frage:
> Wir haben Konvexität ungefähr so eingeführt:
Ungefähr gefällt mir 
> F heiß konvex, wenn für alle [mm]x_1, x_2\in\ID[/mm] (Intervall)
> und für alle [mm]\lambda \in]0,1[:
[/mm]
> f( [mm]\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)
[/mm]
>
> Und, wie Du schon vermutet hast, über die 2. Ableitung:
> falls f zweimal diff.bar, dann:
> f konvex [mm]\gdw f''(x)\ge0[/mm] für alle [mm]x\in\ID
[/mm]
Mit diesem zweiten Kriterium sind die Aufgaben doch ganz leicht zu lösen:
> a) Zeige: Es sei D [mm]\in \IR[/mm] ein Intervall und f, g: D -->
> [mm]\IR[/mm] konvex. Dann sind auch f+g, max (f, g) und -falls f
> positiv- f² konvex
$f,g$ konvex [mm] $\Rightarrow f''(x)\ge0, g''(x)\ge0 \forall [/mm] x [mm] \Rightarrow f''(x)+g''(x)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \Rightarrow (f+g)''(x)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] f+g$ konvex
Die anderen Aufgaben gehen ebenso.
Noch ein Wort zu [mm] $f^2$. [/mm] Hier ist natürlich auch zu überprüfen, ob [mm] $(f^2)''(x)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x$. Da hilft vielleicht die Kettenregel und die zusätzliche Voraussetzung [mm] $f(x)>0\forall [/mm] x$.
> b) Bestimme die maximalen Intervalle, in denen die
> folgenden Funktionen konvex sind: (iii) f(x)=(|x|-1)², x
> [mm]\in \IR[/mm]
Hier müßt Ihr die maximalen Intervalle finden, so dass [mm] $f''(x)\ge [/mm] 0$ ist -- bei Problemen dabei fragt bitte nach.
> Ich hoffe, dies waren die nötigen Informationen, die man
> für die Lösung der Aufgabe wissen muss, mir jedenfalls
> haben sie noch nicht auf die Sprünge geholfen.
Und, wie sieht es jetzt aus?
Viele Grüße,
Marc
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