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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 25.11.2015 | | Autor: | mathstu |
| Aufgabe | Sei M := {x [mm] \in \IR^{n} [/mm] : [mm] x_{n} \ge \wurzel{1+ (x_{1})^{2} + ... + (x_{n-1})^{2}} [/mm] }
Zeige, dass M konvex ist. |
Hallo,
Ich hab vor ein paar Tagen schon eine Aufgabe zur Konvexität gestellt und dachte ich könnte diese Aufgabe ganz alleine lösen, aber ich komme bei dem Beweis nicht weiter.
Seien x,y [mm] \in [/mm] M, d.h. [mm] x_{n} \ge \wurzel{1+...+ (x_{n-1})^{2}} [/mm] und [mm] y_{n} \ge \wurzel{1+...+ (y_{n-1})^{2}} [/mm] . Für ein beliebiges [mm] \lambda \in [/mm] [0,1] muss also gelten:
[mm] \lambda x_{n} [/mm] + (1- [mm] \lambda [/mm] ) [mm] y_{n} \ge \parallel [/mm] 1, ..., [mm] \lambda x_{n-1} [/mm] + (1- [mm] \lambda [/mm] ) [mm] y_{n-1} \parallel [/mm] weil bei M handelt es sich ja genau um die euklidische Norm.
Ich habe dann angefangen zu versuchen die Norm irgendwie umzuwandeln, dass man auf [mm] \ge x_{n} [/mm] und [mm] \ge y_{n} [/mm] einsetzen kann, aber es klappt nicht. Ich kriege nur einen riesen Bruch wo ich nichts rauskürzen kann.
Ich würde mich über einen kleinen Lösungsvorschlag, der mir sagt wie ich das angehen kann, freuen.
Viele Grüße, mathstu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei M := {x [mm]\in \IR^{n}[/mm] : [mm]x_{n} \ge \wurzel{1+ (x_{1})^{2} + ... + (x_{n-1})^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Zeige, dass M konvex ist.
> Hallo,
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> Ich hab vor ein paar Tagen schon eine Aufgabe zur
> Konvexität gestellt und dachte ich könnte diese Aufgabe
> ganz alleine lösen, aber ich komme bei dem Beweis nicht
> weiter.
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> Seien x,y [mm]\in[/mm] M, d.h. [mm]x_{n} \ge \wurzel{1+...+ (x_{n-1})^{2}}[/mm]
> und [mm]y_{n} \ge \wurzel{1+...+ (y_{n-1})^{2}}[/mm] . Für ein
> beliebiges [mm]\lambda \in[/mm] [0,1] muss also gelten:
> [mm]\lambda x_{n}[/mm] + (1- [mm]\lambda[/mm] ) [mm]y_{n} \ge \parallel[/mm] 1, ...,
> [mm]\lambda x_{n-1}[/mm] + (1- [mm]\lambda[/mm] ) [mm]y_{n-1} \parallel[/mm] weil bei
> M handelt es sich ja genau um die euklidische Norm.
> Ich habe dann angefangen zu versuchen die Norm irgendwie
> umzuwandeln, dass man auf [mm]\ge x_{n}[/mm] und [mm]\ge y_{n}[/mm] einsetzen
> kann, aber es klappt nicht. Ich kriege nur einen riesen
> Bruch wo ich nichts rauskürzen kann.
>
> Ich würde mich über einen kleinen Lösungsvorschlag, der
> mir sagt wie ich das angehen kann, freuen.
>
> Viele Grüße, mathstu
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Für [mm] x=(x_1,...,x_n) \in \IR^n [/mm] setze [mm] \overline{x}:=(x_1,...,x_{n-1},1).
[/mm]
dann haben wir:
$x [mm] \in [/mm] M [mm] \gdw ||\overline{x}|| \le x_n.$
[/mm]
Nun seien $x,y [mm] \in [/mm] M$ und $t [mm] \in [/mm] [0,1]$ ( ich schreibe t statt [mm] \lambda, [/mm] bin faul).
Sei z:=tx+(1-t)y. Zu zeigen ist: $z [mm] \in [/mm] M$.
Mach Dir klar, dass [mm] $\overline{z}=t*\overline{x}+(1-t)*\overline{y}$ [/mm] ist.
Es folgt:
[mm] $||\overline{z}|| \le t*||\overline{x}||+(1-t)*||\overline{y}||$
[/mm]
(Dreiecksungleichung !)
Nun musst Du nur noch verwenden, dass $x,y [mm] \in [/mm] M$ sind, um zu erhalten:
[mm] ||\overline{z}|| \le z_n.$
[/mm]
FRED
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