Konvexe Menge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 10.05.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo,
ich habe eine konvexe nichtleere Menge M des [mm] R^n [/mm] gegeben und soll soll jetzt zeigen, dass der Abschluss und das Innere dieser Menge auch konvex sind.
Leider bin ich in der Analysis nicht so bewandert auch ich glaube, dass ein Widerspruchsbeweis hier das richtige ist.
Nehme zum Abschluss an: Dass ein Teil der Verbindunggeraden 2er Punkte nicht zur menge gehört und führe dies zum Widerspruch oder? Aber wie mache ich dass? Ich komme auch mit der Formalenschreibweise der Analysis noch nicht so recht klar, wäre super, wenn mir vielleicht einer den Beweis für den Rand zeigt und den für das Innere mache ich dann oder so.
Vielen Dank für eure Hilfe! Viele Grüße Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Toyo!
Für den Abschluss ist es ja einfach. Seien $x,y [mm] \in \overline{M}$. [/mm] Dann gibt es Folgen [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$, $(y_n)_{n\in \IN}$ [/mm] aus $M$ mit
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} x_n=x$,
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{n \to\infty} y_n=y$.
[/mm]
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt (für alle [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1]$):
[mm] $\lambda\, x_n [/mm] + [mm] (1-\lambda)\, y_n \in [/mm] M$,
und daher:
[mm] $\lambda\, [/mm] x + [mm] (1-\lambda)\, [/mm] y = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} (\lambda\, x_n [/mm] + [mm] (1-\lambda)\, y_n) \in \overline{M}$.
[/mm]
Für das Innere ist es ziemlich trickreich. Du findest aber einen Beweis ![[]](/images/popup.gif) hier, auf Seite 6/7.
Viele Grüße
Julius
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