Konvergiert die Reihe? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Rheinsi |
Hallo!
Genaue Frage weiter unten, die Entstehung hier:
Wir haben in Stochastik ne Aufgabe:
Ein König will die Zahl der Jungen im Land erhöhen und befiehlt den Frauen, erst dann aufzuhören, wenn sie das erste Mädchen geboren haben.
Nun hab ich mir [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IN \backslash [/mm] 0 gewählt. p(x) = [mm] (\bruch{1}{2} )^x [/mm] als Wahrscheinlichkeit. Gedacht als das x. Kind ist das erste Mädchen!
Nun ist die Verteilung der Anzahl der Jungen P (X = w) = p(w+1). Soweit noch klar. Nun sollen wir in Teil b) den Erwartungswert der Mädchen und Jungen pro Familie berechnen. E(Mädchen) = 1 klar
E(X) [mm] \hat= [/mm] Erwartete Jungen = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^(n+1)} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n}
[/mm]
Irgendwie bin ich jetzt zu blöd die Summe abzuschätzen.
Klar ist [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n} [/mm] konvergiert gegen 1.
Ich hoffe mal, dass [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n} [/mm] nicht divergiert.
Irgendwelche Vorschläge?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Genaue Frage weiter unten, die Entstehung hier:
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> Wir haben in Stochastik ne Aufgabe:
> Ein König will die Zahl der Jungen im Land erhöhen und
> befiehlt den Frauen, erst dann aufzuhören, wenn sie das
> erste Mädchen geboren haben.
>
> Nun hab ich mir [mm]\Omega[/mm] = [mm]\IN \backslash[/mm] 0 gewählt. p(x) =
> [mm](\bruch{1}{2} )^x[/mm] als Wahrscheinlichkeit. Gedacht als das
> x. Kind ist das erste Mädchen!
> Nun ist die Verteilung der Anzahl der Jungen P (X = w) =
> p(w+1). Soweit noch klar. Nun sollen wir in Teil b) den
> Erwartungswert der Mädchen und Jungen pro Familie
> berechnen. E(Mädchen) = 1 klar
> E(X) [mm]\hat=[/mm] Erwartete Jungen = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^(n+1)}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm]
>
> Irgendwie bin ich jetzt zu blöd die Summe abzuschätzen.
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> Klar ist [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}[/mm] konvergiert
> gegen 1.
> Ich hoffe mal, dass [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm]
> nicht divergiert.
Die Reihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm]
ist konvergent. Das sieht man mit dem Wurzelkriterium.
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> Irgendwelche Vorschläge?
Wenn Du noch den Reihenwert bestimmen willst, so berchne mal mit dem Cauchyprodukt das folgende Produkt:
([mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}[/mm])([mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}[/mm] )
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Rheinsi |
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} c_{n} [/mm] mit [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2^{n-1}} [/mm] = 2* [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n}
[/mm]
=> 1 = 2* [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n} \gdw \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
=> Die erwartete Jungenanzahl ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ?
Ich meine ich hätte erwartet, dass es kleiner 1 ist, aber so klein?
Aber so meintest du doch, oder?
Edit: Fehler gefunden, ich versuchs neu!
NEUER ANSATZ:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} c_{n} [/mm] mit [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}* \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+1}}
[/mm]
=> 1 = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+1}} \gdw \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n} [/mm] = 2
=> Die erwartete Jungenanzahl ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 2 = 1 ?
Das könnte dann ja jetzt wohl stimmen.
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Hallo Rheinsi,
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}[/mm] *
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} c_{n}[/mm] mit [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{2^{n-1}}[/mm]
> = 2* [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm]
>
> => 1 = 2* [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n} \gdw \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
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> => Die erwartete Jungenanzahl ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ?
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> Ich meine ich hätte erwartet, dass es kleiner 1 ist, aber
> so klein?
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> Aber so meintest du doch, oder?
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> Edit: Fehler gefunden, ich versuchs neu!
>
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> NEUER ANSATZ:
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> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}[/mm] *
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{2^n}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} c_{n}[/mm] mit [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{2^{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}* \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
>
> => 1 = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+1}} \gdw \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm]
> = 2
>
> => Die erwartete Jungenanzahl ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * 2 = 1 ?
>
>
> Das könnte dann ja jetzt wohl stimmen.
Das stimmt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es ist
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{1}{2^{k}}}=2[/mm]
Demzufolge ist
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{1}{2^{k}}}*\summe_{l=0}^{\infty}{\bruch{1}{2^{l}}}=4=\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n+1}{2^{n}}}[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{2^{n}}}=2[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:01 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Rheinsi |
Jo, hab da wohl mal glatt k=0 vergessen!
Danke!
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