Konvergiert die Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 So 25.11.2007 | | Autor: | Physiker |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass [mm] (a_{2n})_{n \in \IN}, (a_{2n+1})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (a_{3n})_{n \in \IN} [/mm] konvergieren. Konvergiert dann auch [mm] (a_n)_{n \in \IN}? [/mm] (Beweis oder Gegenbeispiel) |
Ich habe diese Frage noch in keinem Anderen Forum gepostet.
Vom Gefühl her würde ich sagen: Ja. Das sind ja alles Natürliche Zahlen... Was bedeutet, dass ich n ja durchaus auch die größe von 2n haben könnte. WArum sollte also die Folge mit einem niedirgereren Wert eingesetzt nicht mehr konvergieren?
Aber wie genau mache ich hier den Beweis? Ich müsste das doch nur in Formelschrift pressen... Kann mir wer helfen? (Schande über mich, sitze wieder zu spät am Mathezettel.... (^_^")
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Hallo,
> Sei [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge mit der Eigenschaft, dass
> [mm](a_{2n})_{n \in \IN}, (a_{2n+1})_{n \in \IN}[/mm] und
> [mm](a_{3n})_{n \in \IN}[/mm] konvergieren. Konvergiert dann auch
> [mm](a_n)_{n \in \IN}?[/mm] (Beweis oder Gegenbeispiel)
> Ich habe diese Frage noch in keinem Anderen Forum
> gepostet.
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> Vom Gefühl her würde ich sagen: Ja. Das sind ja alles
> Natürliche Zahlen... Was bedeutet, dass ich n ja durchaus
> auch die größe von 2n haben könnte. WArum sollte also die
> Folge mit einem niedirgereren Wert eingesetzt nicht mehr
> konvergieren?
>
mache dir klar, was die voraussetzungen genau bedeuten: wenn du alle geraden folgeglieder (also folgeglieder mit geradem index) nimmst, konvergiert diese folge. Genauso mit den ungeraden.
Aber: das alleine reicht noch NICHT! nimm das simple beispiel [mm] $a_k=(-1)^k$.
[/mm]
die dritte voraussetzung sagt aber, das die folge in 3er-schritten auch konvergiert. was heisst das? ab einem bestimmten [mm] $n_0$ [/mm] befinden sich fast alle folgeglieder [mm] $a_{3n}$ [/mm] in einer beliebig kleinen umgebung des grenzwertes. Wie viele gerade folgeglieder sind darunter? Und wieviele ungerade? was heisst das aber?
so solltest du zu deiner antwort kommen.
gruss
matthias
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