Konvergenzverhalten von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^{1+\bruch{(-1)^n}{2}}} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe Probleme bei der obigen Aufgabe.
Ich habe es schon mit dem Leibnizkriterium versucht, aber [mm] \bruch{1}{n^{1+\bruch{(-1)^n}{2}}} [/mm] ist keine monoton fallende Folge, als bringt mir das Kriterium nichts. Ich habe auch schon versucht absolute Konvergenz zu zeigen, damit ich Konvergenz folgern kann, aber der Limes von [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n^{1+\bruch{(-1)^n}{2}}}} [/mm] ist 1. Also kann ich keine Aussage über die Konvergenz machen. Da das Wurzelkriterium stärker ist, als das Quotientenkriterium, brauche ich es damit erst gar nicht versuchen.
Auch das Vergleichskriterium, habe ich versucht, hänge da aber immer fest, und komme nicht weiter.
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben?
Grüsse
Alexander
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Do 06.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n^{1+\bruch{(-1)^n}{2}}}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe Probleme bei der obigen Aufgabe.
> Ich habe es schon mit dem Leibnizkriterium versucht, aber
> [mm]\bruch{1}{n^{1+\bruch{(-1)^n}{2}}}[/mm] ist keine monoton
> fallende Folge, als bringt mir das Kriterium nichts. Ich
> habe auch schon versucht absolute Konvergenz zu zeigen,
> damit ich Konvergenz folgern kann, aber der Limes von
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{n^{1+\bruch{(-1)^n}{2}}}}[/mm] ist 1. Also
> kann ich keine Aussage über die Konvergenz machen. Da das
> Wurzelkriterium stärker ist, als das Quotientenkriterium,
> brauche ich es damit erst gar nicht versuchen.
> Auch das Vergleichskriterium, habe ich versucht, hänge da
> aber immer fest, und komme nicht weiter.
>
Hallo Alexander,
schaue Dir die Reihe mit ungeraden und die Reihe mit geraden n an und untersuche jede für sich auf Konvergenz.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
Ist der Beweis so richtig?
[mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{(-1)^n}{n^{1+\bruch{(-1)^n}{2}}}
[/mm]
[mm] a_{2k} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{2k}}{(2k)^{1+\bruch{(-1)^{2k}}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(2k)^{\bruch{3}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{8k^3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{8}*\wurzel{k^3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{8}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{k^3}}
[/mm]
[mm] a_{2k-1} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{2k-1}}{(2k-1)^{1+\bruch{(-1)^{2k-1}}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{(2k-1)^\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2k-1}}
[/mm]
[mm] S_j [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] = [mm] \underbrace{\summe_{k=1}^{j}a_{2k}}_{A_j :=} [/mm] + [mm] \underbrace{\summe_{k=1}^{j}a_{2k-1}}_{B_j :=}
[/mm]
Wir wissen aus der Vorlesung:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^q} [/mm] konvergiert, falls q > 1, und divergiert, falls q [mm] \le [/mm] 1.
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{8}}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{\bruch{3}{2}}} [/mm] < [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow A_j [/mm] konvergent
[mm] \Rightarrow A_j [/mm] beschränkt
Betrachte [mm] B_j [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{j}-\bruch{1}{\wurzel{2k-1}} [/mm] = [mm] -\summe_{k=1}^{j}\bruch{1}{\wurzel{2k-1}} [/mm]
Es gilt:
0 [mm] \le \bruch{1}{2}*\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2k} \le \bruch{1}{\wurzel{2k}} \le \bruch{1}{\wurzel{2k-1}} \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2}*\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] divergiert,
folgt mit dem Vergleichskriterium:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2k-1}} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow B_j \to -\infty
[/mm]
Da [mm] A_j [/mm] beschränkt und [mm] B_j \to -\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow S_j [/mm] = [mm] A_j [/mm] + [mm] B_j \to -\infty, [/mm] also [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Schwarzbrenner  ,
na, wird doch...
> Ist der Beweis so richtig?
>
> [mm]a_n[/mm] := [mm]\bruch{(-1)^n}{n^{1+\bruch{(-1)^n}{2}}}[/mm]
>
> [mm]a_{2k}[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{2k}}{(2k)^{1+\bruch{(-1)^{2k}}{2}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(2k)^{\bruch{3}{2}}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{8k^3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{8}*\wurzel{k^3}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{8}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\wurzel{k^3}}[/mm]
>
> [mm]a_{2k-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^{2k-1}}{(2k-1)^{1+\bruch{(-1)^{2k-1}}{2}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{(2k-1)^\bruch{1}{2}}[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2k-1}}[/mm]
>
> [mm]S_j[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] =
> [mm]\underbrace{\summe_{k=1}^{j}a_{2k}}_{A_j :=}[/mm] + [mm]\underbrace{\summe_{k=1}^{j}a_{2k-1}}_{B_j :=}[/mm]
>
> Wir wissen aus der Vorlesung:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^q}[/mm] konvergiert, falls q >
> 1, und divergiert, falls q [mm]\le[/mm] 1.
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{8}}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{\bruch{3}{2}}}[/mm] < [mm]+\infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A_j[/mm] konvergent
>
> [mm]\Rightarrow A_j[/mm] beschränkt
>
>
> Betrachte [mm]B_j[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{j}-\bruch{1}{\wurzel{2k-1}}[/mm] =
> [mm]-\summe_{k=1}^{j}\bruch{1}{\wurzel{2k-1}}[/mm]
>
> Es gilt:
>
> 0 [mm]\le \bruch{1}{2}*\bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2k} \le \bruch{1}{\wurzel{2k}} \le \bruch{1}{\wurzel{2k-1}} \forall[/mm]
> k [mm]\in \IN[/mm]
>
> Da [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2}*\bruch{1}{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm] divergiert,
> folgt mit dem Vergleichskriterium:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2k-1}}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}a_{2k-1}[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow B_j \to -\infty[/mm]
>
> Da [mm]A_j[/mm] beschränkt und [mm]B_j \to -\infty[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow S_j[/mm] = [mm]A_j[/mm] + [mm]B_j \to -\infty,[/mm] also
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
Tja. Das ist alles richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Manche Notationen, die das Unendliche betreffen, sind nicht ganz sauber, aber womöglich trotzdem bei Euch so üblich. Da will ich keine Grundsatzdiskussion lostreten.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Dann bin ich ja glücklich, dass der Beweis richtig ist. :)
Danke schonmal für eure Hilfe.
Was genau meinst du denn damit, dass manches unsauber ist?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
[...]
Seufz.
Wie gesagt, ich will ja gar keine Grundsatzdebatte.
> Dann bin ich ja glücklich, dass der Beweis richtig ist.
> :)
> Danke schonmal für eure Hilfe.
Gern geschehen
> Was genau meinst du denn damit, dass manches unsauber ist?
Schon die Notation unendlicher Summen bedingt eigentlich eine Untersuchung, ob der Grenzwert (für den die Schreibweise ja eine Kurzform ist) überhaupt existiert.
Dann kann eine unendliche Summe nicht [mm] =+\infty [/mm] oder [mm] =-\infty [/mm] sein, aber immerhin in diese Richtung "laufen". Das hast Du z.B. nicht konsistent notiert.
Und schließlich ist fraglich, ob etwas endlich ist, bloß weil es [mm] <\infty [/mm] ist. Auch das ist nicht definiert, aber eine übliche und verständliche Schreibweise.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Ok, ich glaube, ich weiß, was du meinst, aber das geht zu weit. Belassen wir es doch einfach dabei. :D
|
|
|
|
