matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und GrenzwerteKonvergenzverhalten
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Grenzwerte" - Konvergenzverhalten
Konvergenzverhalten < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzverhalten: Gleichmäßige Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Di 07.02.2012
Autor: fe11x

Aufgabe
Überprüfe folgende Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz:

fn(x)= [mm] \bruch{1}{x+\bruch{x^2}{n}} [/mm]

kann mir hier jemand weiterhelfen?
ich bin bei gleichmäßiger konvergenz gar nicht sicher. punktweise konnte ich bei dieser funktion schon nachweisen, das war nicht schwer.

könnte mir vielleicht jemand ein wenig tipps dazu geben

danke im voraus

        
Bezug
Konvergenzverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Di 07.02.2012
Autor: fred97


> Überprüfe folgende Funktionenfolge auf gleichmäßige
> Konvergenz:
>  
> fn(x)= [mm]\bruch{1}{x+\bruch{x^2}{n}}[/mm]
>  kann mir hier jemand weiterhelfen?

Ja, wenn Du verrätst, wo die [mm] f_n [/mm] def. sind. Also auf welcher Teilmenge von [mm] \IR [/mm] soll die Untersuchung stattfinden ?


>  ich bin bei gleichmäßiger konvergenz gar nicht sicher.
> punktweise konnte ich bei dieser funktion schon nachweisen,

Ja, und was hast Du raus ? Gegen welche Funktion konv. [mm] (f_n) [/mm] punktweise ?


Ich hoffe , Du hast raus: [mm] f_n(x) \to [/mm] 1/x  für jedes x [mm] \ne [/mm] 0


> das war nicht schwer.
>  
> könnte mir vielleicht jemand ein wenig tipps dazu geben

Tipp: Wenn ich davon ausgehe, dass auf (0, [mm] \infty) [/mm] zu untersuchen ist, so gibt eine Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] mit:

   [mm] $|f_n(x)-1/x| \le a_n$ [/mm]  für x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm]

FRED

>  
> danke im voraus


Bezug
                
Bezug
Konvergenzverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Di 07.02.2012
Autor: fe11x

Aufgabe
...

ja genau. die grenzfunktion ist 1/x. das hab ich rausbekommen. war auch nicht so schwer :)

sorry, zu untersichen ist auf dem intervall [1, +unendlich)
grundsätzlich muss ich ja ein epsilon finden, sodass |fn(x)-f(x)| < e gilt für alle x aus dem definitionsbereich oder?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Di 07.02.2012
Autor: fred97


> ...
>  ja genau. die grenzfunktion ist 1/x. das hab ich
> rausbekommen. war auch nicht so schwer :)
>  
> sorry, zu untersichen ist auf dem intervall [1,
> +unendlich)

Das ist schon mal geklärt.


>  grundsätzlich muss ich ja ein epsilon finden, sodass
> |fn(x)-f(x)| < e gilt für alle x aus dem
> definitionsbereich oder?

Nein. Wir machen jetzt folgendes. Du schaust Dir die Def. von $gleichmäßig konvergent" noch mal an. Dann sehen wir weiter.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Di 07.02.2012
Autor: fe11x

Aufgabe
...

okay hab mir die definition angeschaut:

für alle e>0 existiert ein N aus den natürlichen Zahlen sodass für alle x aus dem Definitionsbereich der abstand von fn(x) zu f(x) < e ist für alle n>N.

okay gut, ist eigentlich recht logisch, nur wie mans nachweißt weiß ich einfach nicht.

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Di 07.02.2012
Autor: fred97


> ...
>  okay hab mir die definition angeschaut:
>  
> für alle e>0 existiert ein N aus den natürlichen Zahlen
> sodass für alle x aus dem Definitionsbereich der abstand
> von fn(x) zu f(x) < e ist für alle n>N.
>  
> okay gut, ist eigentlich recht logisch, nur wie mans
> nachweißt weiß ich einfach nicht.

Ich verrats Dir:

Zeige:

   $ [mm] |f_n(x)-1/x| \le [/mm] 1/n $  für alle  x $ [mm] \in [/mm] $ [1, $ [mm] \infty) [/mm] $ und alle n.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 Di 07.02.2012
Autor: fe11x

Aufgabe
..

okay schön und gut. aber wieso muss das ganze < 1/n sein?
wie kommt man darauf?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Di 07.02.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> ..
>  okay schön und gut. aber wieso muss das ganze < 1/n
> sein?

Wenn es kleiner als 1/n ist, bekommst du es kleiner als jedes vorgebene [mm]\varepsilon>0[/mm]

>  wie kommt man darauf?

Indem man einfach mal [mm]|f_n(x)-1/x|[/mm] hinschreibt und vereinfacht.

Du kommst - wenn ich mich auf die Schnelle nicht verhauen habe - auf [mm]\frac{1}{n+x}[/mm]; und das ist [mm]<\frac{1}{n}[/mm]

Also schreib's mal hier auf: [mm]|f_n(x)-1/x|=|...|=....[/mm]

Gruß

schachuzipus

Das ist die Abschätzung


Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzverhalten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Di 07.02.2012
Autor: fe11x

danke vielmals an euch beide!

nun hab ichs raus!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]