Konvergenzradius und Intervall < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 12.02.2014 | | Autor: | bla234 |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^{n}*(x+2)^n}{2^n*\wurzel{3n-2}}
[/mm]
Bestimmen Sie Konvergenzradius R sowie das Intervall I auf dem die Reihe konvergiert. |
Ich bin nicht sicher ob meine Lösung stimmt:
Erst mit dem Wurzelkriterium den Radius bestimmt:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{3^{n}}{2^{n}*\wurzel{3n-2}}
[/mm]
r= [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{n}|}}= \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|\bruch{3^{n}}{2^{n}*\wurzel{3n-2}}|}}= \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{\wurzel{3n-2}}}*\bruch{3}{2}}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Reihe konvergiert, wenn [mm] |x-x_{0}|
Fall 1: x-2 >= 0:
[mm] x-2<\bruch{2}{3} [/mm] => [mm] x<\bruch{8}{3}
[/mm]
Fall 2: x-2 < 0:
[mm] 2-x<\bruch{2}{3} [/mm] => [mm] x>\bruch{4}{3}
[/mm]
=> I = [mm] (\bruch{4}{3},\bruch{8}{3})
[/mm]
Stimmt das so? Muss ich noch irgendwie berücksichtigen was unter der Wurzel passiert?
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Hallo,
das sieht ja gar nicht so schlecht aus. 
> Bestimmen Sie Konvergenzradius R sowie das Intervall I auf
> dem die Reihe konvergiert.
> Ich bin nicht sicher ob meine Lösung stimmt:
>
> Erst mit dem Wurzelkriterium den Radius bestimmt:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{3^{n}}{2^{n}*\wurzel{3n-2}}[/mm]
> r= [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_{n}|}}= \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|\bruch{3^{n}}{2^{n}*\wurzel{3n-2}}|}}= \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[n]{\wurzel{3n-2}}}*\bruch{3}{2}}=\bruch{2}{3}[/mm]
>
Eigentlich muss man das zunächst mit dem Limes superior schreiben, aber in diesem Fall ist das natürlich mit dem Limes gleichzusetzen, von daher nicht falsch. Dein Grenzwert passt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Reihe konvergiert, wenn [mm]|x-x_{0}|
>
Hm wie heißt denn die Klammer nun, [mm] (x-2)^n [/mm] oder [mm] (x+2)^n?
[/mm]
Falls es ersteres ist, dann passt das so.
> Fall 1: x-2 >= 0:
> [mm]x-2<\bruch{2}{3}[/mm] => [mm]x<\bruch{8}{3}[/mm]
>
> Fall 2: x-2 < 0:
> [mm]2-x<\bruch{2}{3}[/mm] => [mm]x>\bruch{4}{3}[/mm]
>
> => I = [mm](\bruch{4}{3},\bruch{8}{3})[/mm]
>
> Stimmt das so? Muss ich noch irgendwie berücksichtigen was
> unter der Wurzel passiert?
Nein, aber du bist noch nicht fertig. Du musst jetzt noch die Ränder getrennt untersuchen, auch dort könnte u.U. Konvergenz vorliegen. Und in einem Fall wird genau dies nämlich eintreten, wie dir ein gewisser Leibniz versichern könnte...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 12.02.2014 | | Autor: | bla234 |
(x+2) ist richtig und deshalb lautet das Intervall:
[mm] I=(-\bruch{8}{3},-\bruch{4}{3}) [/mm] ?
Das heißt ich setze die Grenzen ein:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^n * (-\bruch{8}{3}+2)^n}{2^n * \wurzel{3n-2}} [/mm] => Wurzelkriterium = -1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^n * (-\bruch{4}{3}+2)^n}{2^n * \wurzel{3n-2}} [/mm] => Wurzelkriterium = 1
Rein rechnerisch hoffe ich stimmt das. Aber was bedeutet das, dass die Ränder konvergieren?
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Hallo,
> (x+2) ist richtig und deshalb lautet das Intervall:
>
> [mm]I=(-\bruch{8}{3},-\bruch{4}{3})[/mm] ?
Nein, wie gesagt: du bist hier noch nicht fertig.
>
> Das heißt ich setze die Grenzen ein:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^n * (-\bruch{8}{3}+2)^n}{2^n * \wurzel{3n-2}}[/mm]
> => Wurzelkriterium = -1
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^n * (-\bruch{4}{3}+2)^n}{2^n * \wurzel{3n-2}}[/mm]
> => Wurzelkriterium = 1
>
Nein, so funktioniert das nicht. Im ersten Fall kann man sich klar machen, dass das absolute Reihenglied eine monotone Nullfolge ist. Außerdem weisen die Reihenglieder alternierende Vorzeichen auf.
Im zweiten Fall kürzt sich alles bis auf die Wurzel, und es sollte bekannt sein, dass dabei nichts konvergentes herauskommt. Hier muss man also noch eine geeignete divergente Minorante finden und angeben.
Und: Ränder konvergieren oder divergieren nicht. Potenzreihen konvergieren u.U. auf den Rändern ihres Konvergenzintervalls.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 12.02.2014 | | Autor: | bla234 |
Vielen Dank erstmal...
Also zum generellen Vorgehen: Ich setze die Grenzen ein und schaue ob die Reihe konvergiert.
Fall 1:
Muss ich noch beweisen das die Reihe monoton ist? Wenn ja, wie mache ich das? Das heißt nach Leibniz konvergiert sie?
Fall 2:
Stimmt! Das kürzt sich ja alles weg :)
Dann darf ich doch abschätzen
[mm] \bruch{1}{\wurzel{3n-2}}>\bruch{1}{\wurzel{n}}>\bruch{1}{n} [/mm]
Weil die harmonische Reihe divergiert divergiert auch die Potenzreihe an der oberen Intervallgrenze. (Hoffentlich stimmt das)
Was muss ich jetzt als Endergebnis für das Intervall hinschreiben, wenn sie an der oberen Grenze divergiert und an der unteren konvergiert?
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Hallo,
> Vielen Dank erstmal...
>
>
> Also zum generellen Vorgehen: Ich setze die Grenzen ein und
> schaue ob die Reihe konvergiert.
Jep.
> Fall 1:
> Muss ich noch beweisen das die Reihe monoton ist? Wenn ja,
> wie mache ich das?
Nun, das ist nach meiner Kenntnis hier schon üblich, es zu tun, auch wenn es offensichtlich ist. Der Nachweis [mm] a_{n+1}-a_n<0 [/mm] gelingt hier recht einfach.
> Das heißt nach Leibniz konvergiert
> sie?
Genau, das meinte ich.
>
> Fall 2:
> Stimmt! Das kürzt sich ja alles weg :)
> Dann darf ich doch abschätzen
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3n-2}}>\bruch{1}{\wurzel{n}}>\bruch{1}{n}[/mm]
> Weil die harmonische Reihe divergiert divergiert auch die
> Potenzreihe an der oberen Intervallgrenze. (Hoffentlich
> stimmt das)
Da hast du dich ein wenig vertan. Die erste Ungleichheit stimmt nicht. Ab der ersten Abschätzung noch jeweils eine 3 vor das n, und das ganze ist repariert.
Je nach Prof hätte es vielleicht auch schon [mm] 1/\wurzel{3n} [/mm] getan, aber so ist es wasserdicht.
>
> Was muss ich jetzt als Endergebnis für das Intervall
> hinschreiben, wenn sie an der oberen Grenze divergiert und
> an der unteren konvergiert?
[mm] I=\left[-\bruch{8}{3};-\bruch{4}{3}\right)
[/mm]
Eben ein halboffenes Intervall.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mi 12.02.2014 | | Autor: | bla234 |
Danke!
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