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Ich habe für 2 unendliche komplexe Reihen den Konvergenzradius und das Konvergenzgebiet zu bestimmen. Ich habe dazu zwar eine Lösung, bin mir abern ciht sicher, ob ich es richtig gemacht habe. Deswegen wäre ich sehr dankbar, wenn jemand das ganze mal kontrollieren könnte ;)
Also die erste:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^3}{9^n} [/mm] * z^(2n)
Ich habe nun die erzeugende Folge festgelegt durch:
an:= n^(3) / 9^(n)
=> an+1 = (n+1)^(3) / 9^(n+1)
Nun habe ich den Konvergenzradius errechnet durch:
Limes von n gegen unendlich des Betrags von an / an+1
und erhalte dann einen Konvergenzradius von R = 9.
Nun bin ich mir beim Konvergenzgebiet nicht sicher:
{z [mm] \in \IC [/mm] : Betrag von z < 9}
oder muss ich statt Betrag von z Betrag von z^(2) schreiben?
So, dann die 2. Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n^(2) * 5^(n) * (z-2)^(n)
so, meine erzeugende Folge hier:
an := n^(2) * 5^(n)
=> an+1 = (n+1)^(2) + 5^(n+1)
Mit dem Quotient aus an / an+1 erhaltei ch einen Konvergenzradius von R= 1/5
und dann ein Konvergenzgebiet mit
{z [mm] \in \IC [/mm] : Betrag von z < 1/5}
Hier war ich mir halt auch nicht sicher, ob ich da Betrag von z-2 eintragen muss?
Wie gesagt, bin ich mir halt nicht sicher, ob das richtig ist, und würe mich echt freuen, wenn das nochmal jemand kontrollieren könnte.
Vielen Dank im voraus, die_conny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 So 06.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo die_conny!
Wegen [mm] $z^{\red{2}*n}$ [/mm] in der Reihe musst Du für den endgültigen Konvergenzradius nochmal die Wurzel zeiehen.
Es gilt also: $R' \ = \ [mm] \wurzel{9} [/mm] \ = \ 3$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 So 06.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo die_conny!
Deine Verdacht trügt nicht. Du musst hier wirklich $| \ z \ [mm] \red{-2} [/mm] \ | \ < \ [mm] \bruch{1}{5}$ [/mm] schreiben.
Zudem musst Du ja noch die Sonderfälle [mm] $\pm|z-2| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{5}$ [/mm] untersuchen.
Gruß
Loddar
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Danke erstmal für die Hilfe!
Also bei der ersten mit der Wurzel, wie schreibe ich das ganze dann auf? Ich schreib meine Berechnung für 9 hin und sage dann, dass wegen [mm] z^2 [/mm] noch die Wurzel gezogen werden muss? oder schreibe ich die berechnung für den konvergenzradius gleich mit einer wurzel auf?
es wird bei uns immer sehr auf form geachtet, deswegen noch mal diese kleinliche nachfrage ;)
so, und bei dem betrag z-2, also wie schreibe ich es dann richtig auf? erstmal die klammer und dann eben statt z halt z-2, aber was mache ich dann mit dem fall für =1/5, also wie bringe ich das in mein konvergenzgebiet ein, wenn es konvergiert?
sorry für die vielen fragen, bin in dem thema noch sehr ungeübt ;)
vielen dank im voraus, die_conny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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