Konvergenzradius, gl. stetig < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo...
Ich habe blad ein "Mathe-Date" mit meinem Prof und muss bisdahin noch ein paar Aufgaben lösen. Dazu hänge ich teilweise fest... Brauche also einen kräftigen Stoß in die richtige Richtung 
1) Ich soll den Konvergenzradius der Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^{2^n}
[/mm]
Ich sehe aber nicht, dass das eine Potenzreihe ist... Wo ist denn da die Form
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n z^n [/mm] ?
Dann kann ich ja über [mm] a_n [/mm] mit Euler oder Cauchy-Hadamard den Radius ausrechnen... aber ich komme im Moment nicht ans [mm] a_n [/mm] ...
2)
Ich will zeigen, dass
f,g: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
f(x):= [mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
gleichmäßig stetig und,
g(x):= [mm] 1+x^2
[/mm]
nicht gleichmäßig stetig ist.
Wie muss ich da am besten rangehen...
Über die Epsilon-Delta-Definition (?):
f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] heißt stetig, falls es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt mit:
|f(a)-f(b)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] mit
|a-b|< [mm] \delta.
[/mm]
"Anschaulich" ist mir das klar, aber bei mir hapert es am korrekten Aufschreiben...
viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
die Koeffizienten [mm] $a_n$ [/mm] nehmen nur die Werte $1$ oder $0$ an. Es gilt
[mm] $a_m=\begin{cases} 1, \qquad m=2^n\\ 0, \qquad \text{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
Bei der zweiten Aufgabe würde ich für $g$ über einen Widerspruchsbeweis gehen, d.h. annehmen, dass $g$ gleichmässig stetig ist und zeigen, dass egal wie man [mm] $\delta$ [/mm] wählt es eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] gibt, bei der die Ungleichung doch nicht erfüllt ist. Bei $f$ müsstest du mit der normalen Definition arbeiten können.
Max
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Hallo nochmal...
ich verstehe das noch nicht ganz.
Ich sehe nicht wieso die Folge in der Potenzreihe nun gerade so aussieht, kann mir das bitte jemand erklären?
Mit der angegebenen Folge könnte ich auch nicht den Potenzradius bestimmen... seufz.
grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella,
> ich verstehe das noch nicht ganz.
> Ich sehe nicht wieso die Folge in der Potenzreihe nun
> gerade so aussieht, kann mir das bitte jemand erklären?
Vielleicht wird es deutlicher, wenn du dir die ersten paar Summanden explizit aufschreibst:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} z^{2^n}=z^1+z^2+z^4+z^8+z^{16}+\ldots$
[/mm]
oder noch deutlicher
[mm] $\ldots=0*z^0+1*z^1+1*z^2+0*z^3+1*z^4+0*z^5+0*z^6+0*z^7+1*z^8+0*z^9+\ldots$
[/mm]
So kommt man zu der von Max angegebenen Koeffizientenfolge [mm] $a_n$
[/mm]
> Mit der angegebenen Folge könnte ich auch nicht den
> Potenzradius bestimmen... seufz.
Vielleicht gelingt es ja jetzt...
Viele Grüße,
Marc
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Halllo...
Na gut, dann ist die Reihe darstellbar als:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty }a_m z^{2^n}
[/mm]
wobei
[mm] a_m [/mm] := 1 für [mm] m=2^n
[/mm]
[mm] a_m [/mm] := 0 sonst.
Darauf Cauchy-Hadamard angewendet:
r= [mm] \bruch{1}{\limsup\wurzel[n]{|a_m|} } [/mm] = 1 ???
Das ist doch richtig so, oder... mit dem Limes Superior bin ich noch etwas unsicher...
dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Di 31.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella,
> Na gut, dann ist die Reihe darstellbar als:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty }a_m z^{2^n}[/mm]
> wobei
> [mm]a_m[/mm] := 1 für [mm]m=2^n[/mm]
> [mm]a_m[/mm] := 0 sonst.
>
> Darauf Cauchy-Hadamard angewendet:
> r= [mm]\bruch{1}{\limsup\wurzel[n]{|a_m|} }[/mm] = 1 ???
Das müßte stimmen...
> Das ist doch richtig so, oder... mit dem Limes Superior bin
> ich noch etwas unsicher...
Der [mm] $\limsup$ [/mm] ist doch einfach der größte Häufungspunkt einer Folge. Und bei der Folge [mm] $(\wurzel[n]{|a_m|})$ [/mm] sind offenbar 0 und 1 Häufungspunkte, 1 damit der größte.
Viele Grüße,
Marc
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