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Hallo,
ich habe einige Schwierigkeiten die Aufgabe zu lösen. Die Reihe lautet:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} (3^{n}*n [/mm] + [mm] 2^{n}) z^{n}
[/mm]
Ich habe zunächst versucht mit dem Quotientenkriterium zu arbeiten, doch damit kam ich auch nicht wirklich weit.
Und mit dem Wurzelkriterium hatte ich dasselbe Problem.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 So 20.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe einige Schwierigkeiten die Aufgabe zu lösen. Die
> Reihe lautet:
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> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (3^{n}*n[/mm] + [mm]2^{n}) z^{n}[/mm]
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>
> Ich habe zunächst versucht mit dem Quotientenkriterium zu
> arbeiten, doch damit kam ich auch nicht wirklich weit.
>
> Und mit dem Wurzelkriterium hatte ich dasselbe Problem.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
>
> Danke im Voraus
Hallo,
hast du die Probleme schon beim Aufstellen des Quotienten oder erst bei dessen Grenzwert?
Zeige bitte deinen Ansatz.
Im Übringen heißt dein Laufindex sicher nicht i, sondern n?
Gruß Abakus
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Du hast vollkommen recht, mein Laufindex ist n.
Also mein Ansatz nach dem Quotientenkriterium geht so:
[mm] \underline{3^{n}*3* (n+1) + 2^{n}*2}
[/mm]
[mm] 3^{n}*n +2^{n}
[/mm]
Aber wie geht es nun weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 So 20.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Du hast vollkommen recht, mein Laufindex ist n.
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> Also mein Ansatz nach dem Quotientenkriterium geht so:
>
> [mm]\underline{3^{n}*3* (n+1) + 2^{n}*2}[/mm]
> [mm]3^{n}*n +2^{n}[/mm]
>
>
> Aber wie geht es nun weiter?
Hallo,
wenn man Zähler und Nenner durch [mm] $3^n$ [/mm] teilt, ergibt sich
[mm]\frac{3* (n+1) + (\frac23)^{n}*2}{n + (\frac23)^{n}}[/mm].
Bedenke, dass [mm](\frac23)^{n}[/mm] gegen Null geht.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 20.10.2013 | | Autor: | Sandra_161 |
Super, danke sehr!
Dann bleibt ja, wenn [mm] n\to \infty [/mm] geht:
[mm] \underline{3*n +3}
[/mm]
n
und daraus folgt der Konvergenzradius =3.
Danke nochmal für die Hilfe
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Hallo nochmal,
> Super, danke sehr!
>
> Dann bleibt ja, wenn [mm]n\to \infty[/mm] geht:
> [mm]\underline{3*n +3}[/mm]
> n
>
> und daraus folgt der Konvergenzradius =3.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist leider falsch!
Wie sieht denn die Reihe etwa für $z=2$ aus? Die ist doch nie und nimmer konvergent ...
Siehe auch meine andere Antwort ...
>
> Danke nochmal für die Hilfe
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
das ist Kuddelmuddel!
Du mischt Potenzreihen und "normale" Reihen durcheinander.
Du kannst deine Potenzreihe als "normale" Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}a_n[/mm] auffassen, dann aber bitte mit [mm]a_n=\left(3^n\cdot{}n+2^n\right)\cdot{}z^n[/mm]
Dann kannst du das "normale" Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium anwenden.
Wenn du die Reihe als Potenzreihe auffasst und diesen Quotientenansatz ohne das z machst, dann bitte Zähler und Nenner vertauschen - das ist eng verwandt mit dem QK.
Alternativ nutze Cauchy-Hadamard (verwandt mit dem WK)
So wie du es schreibst, stimmt es nicht!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 So 20.10.2013 | | Autor: | Sandra_161 |
Hallo,
dann müsste nach Cauchy Hadamard [mm] \bruch{1}{3} [/mm] rauskommen.
Dann müsste wieder alles stimmen, oder ?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> dann müsste nach Cauchy Hadamard [mm]\bruch{1}{3}[/mm] rauskommen.
Aha! Schon besser!
$1/3$ ist richtig!
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> Dann müsste wieder alles stimmen, oder ?
Was heißt "wieder"? ...
Zumindest stimmt es so mit dem 1/3
Gruß
schachuzipus
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