Konvergenzradius bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:58 Di 18.08.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
[mm] \summe_{n\ge 0}n^5*z^n.
[/mm]
b) Sei 0 < R < [mm] \infty [/mm] der Konvergenzradius der Reihe
[mm] \summe_{n\ge 0}a_n*z^n.
[/mm]
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
[mm] \summe_{n\ge 0}(a_n)^5*z^n. [/mm] |
zu a)
Hier habe ich Konvergenzradius 1 erhalten.
Und zwar wegen
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_n+1}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{n}{n+1})^5| [/mm] = 1.
Stimmt das?
zu b)
Hier habe ich wieder benötigt:
[mm] R_1=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a_n)^5}{(a_n+1)^5}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{a_n}{a_n+1})^5| [/mm] = [mm] |R^5|.
[/mm]
Stimmt das?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Di 18.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
>
> [mm]\summe_{n\ge 0}n^5*z^n.[/mm]
>
> b) Sei 0 < R < [mm]\infty[/mm] der Konvergenzradius der Reihe
>
> [mm]\summe_{n\ge 0}a_n*z^n.[/mm]
>
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
>
> [mm]\summe_{n\ge 0}(a_n)^5*z^n.[/mm]
>
> zu a)
> Hier habe ich Konvergenzradius 1 erhalten.
> Und zwar wegen
>
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_n+1}|[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{n}{n+1})^5|[/mm] = 1.
>
> Stimmt das?
Ja.
> Hier habe ich wieder benötigt:
>
> [mm]R_1=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a_n)^5}{(a_n+1)^5}|[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{a_n}{a_n+1})^5|[/mm] =
> [mm]|R^5|.[/mm]
> Stimmt das?
Warum sollte [mm] $|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|$ [/mm] ueberhaupt definiert sein (also [mm] $a_{n+1} \neq [/mm] 0$ fuer alle $n$)? Und falls doch, warum sollte das konvergieren?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Di 18.08.2009 | | Autor: | jokerose |
> Warum sollte [mm]|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] ueberhaupt definiert
> sein (also [mm]a_{n+1} \neq 0[/mm] fuer alle [mm]n[/mm])? Und falls doch,
> warum sollte das konvergieren?
Es steht ja, dass 0 < R < [mm] \infty [/mm] der Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_{n\ge0}a_n*z^n [/mm] ist.
Also habe ich gedacht, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] = R ist. Oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Di 18.08.2009 | | Autor: | fred97 |
>
> > Warum sollte [mm]|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] ueberhaupt definiert
> > sein (also [mm]a_{n+1} \neq 0[/mm] fuer alle [mm]n[/mm])? Und falls doch,
> > warum sollte das konvergieren?
>
> Es steht ja, dass 0 < R < [mm]\infty[/mm] der Konvergenzradius der
> Reihe [mm]\summe_{n\ge0}a_n*z^n[/mm] ist.
>
> Also habe ich gedacht, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] = R ist.
> Oder nicht?
So geht das nicht.
Es gilt (nicht mehr und nicht weniger): sind fast alle [mm] a_n \not= [/mm] 0 und ex. der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] , so ist dieser Grenzwert = Konvergenzradius.
Versuchs mal mit der Formel von Cauchy - Hadamard.
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Di 18.08.2009 | | Autor: | jokerose |
> Versuchs mal mit der Formel von Cauchy - Hadamard.
[mm] R_1 [/mm] = [mm] (limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n^5|})^{-1} [/mm] = [mm] ((limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|})^{-1})^5 [/mm] = [mm] R^5.
[/mm]
Kann ich so argumentieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Di 18.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
|
|
|
|
