Konvergenzradius, Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo, ich verstehe eine Umformung nicht
\sum_{k=0}^{\infty} \br{x^{3k}}{(4+(-1)^k)^{3k}}
Im ursprünglichen ging es um den Konvergenzradius, aber jedenfalls formen wir das so um:
$\sum_{k=0}^{\infty} \br{x^{3k}}{(4+(-1)^k)^{3k}}=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$
$a_k = \begin{cases} (4+(-1)^{\br{k}{3})^{-k}, & \mbox{, } k=3l, l \in \IN \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}$
Also wie man auf a_k kommt verstehe ich gar nicht.
Wieso haben wir auf einmal k drittel bei der -1? Ich sehe schon, dass da der Exponent durch drei geteilt wurde - aber mit welchem Rechenschritt kan man das denn machen?
Und waurm haben wir eine Null bei sonst? Weil es keine reellen Lösungen sonst gibt, oder wie?
Hoffe, mir hilft jemand!
Schöne Grüße,
Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Fr 29.12.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Johann!
> Hallo, ich verstehe eine Umformung nicht
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \br{x^{3k}}{(4+(-1)^k)^{3k}}[/mm]
>
> Im ursprünglichen ging es um den Konvergenzradius, aber
> jedenfalls formen wir das so um:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \br{x^{3k}}{(4+(-1)^k)^{3k}}=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k[/mm]
>
> [mm]a_k = \begin{cases} (4+(-1)^{\br{k}{3})^{-k}, & \mbox{, } k=3l, l \in \IN \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Also wie man auf [mm]a_k[/mm] kommt verstehe ich gar nicht.
Vielleicht ist es besser, den Summationsindex rechts und links unterschiedlich zu taufen, also links l zu nehmen:
[mm]\sum_{l=0}^{\infty} \br{x^{3l}}{(4+(-1)^{l})^{3l}}=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}[/mm]
Und jetzt guckst du, welche Potenzen links überhaupt auftauchen: Das sind die mit den Exponenten 0, 3, 6, ..., also die Vielfachen von 3. Also fallen rechts 2/3 aller Summanden weg (oder haben den Koeffizienten 0). Auftauchen tun nur die mit Exponent k = 3l, und die haben genau den angegebenen Koeffizienten.
So klarer und nachvollziehbar?
Gruß aus HH-Harburg und guten Rutsch
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend statler.
> So klarer und nachvollziehbar?
Jetzt ist es klar. Vielen Dank, war ein super Tipp!
Viele Grüße (und ich wünsche ebenfalls einen guten Rutsch)
Johann
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