Konvergenzradius II < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 17.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Vier weitere Reihen, deren Konvergenzradius bestimmt werden soll:
i) cosh x = [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} \bruch{1}{(2n)!} x^{2n}
[/mm]
ii) sinh x = [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} \bruch{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}
[/mm]
iii) [mm] \summe_{n = 1}^{\infty} x^{n!}
[/mm]
iv) [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} \bruch{5^n}{n!}x^n [/mm] |
zu i) [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} \bruch{1}{(2n)!} x^{2n} [/mm] = [mm] \summe_{n = 0}^{\infty} \bruch{1}{(2n)!} {(x^2)}^n [/mm]
Substituiere y = x²
[mm] \summe_{n = 0}^{\infty} \bruch{1}{(2n)!} y^n [/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{(2n)!}
[/mm]
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(2n+2)!}{(2n)!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (2n+2) * (2n+1) = [mm] \infty [/mm]
Jetzt müsste ich aber noch x = [mm] \wurzel{y} [/mm] resubstituieren
Bin aber überfragt, wie.
zu ii) ähnelt der i) enorm (ist ja auch verwandt ^^) aber Substitution klappt erst einmal nicht.
Riecht ein wenig nach Fallunterschiedung (nur ungerade Potenzen) aber da wüsste ich nicht, wie.
zu iii) Wo [mm] a_n [/mm] = 1 noch schön einfach ist, komme ich mit der Potenz überhaupt nicht klar. [mm] {(x^n)^{n-1}}^{...} [/mm]
Damit komm ich auch hier nicht weiter.
zu iv) Ich hoffe sehr, dass ich hier in keine Falle reintappe. Aber die Reihe sieht für mich sehr einfach aus:
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5^n * (n+1)!}{5^{n+1} * n!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{5} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Oder muss ich hier was beachten (z.B. in Verbindung mit exp = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm] ?)
Tipps zur i),ii) und iii) wären klasse!
Und eine Verifizierung meines Ergebnisses bei der iv) und des Zwischenergebnisses bei der i) die Krönung. 
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Diese Aufgabe hast Du korrekt gelöst! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Zerlege: [mm] $x^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] x^{2n}*x^1$
[/mm]
Den einzelnen $x_$-Term kannst Du nun vor die Summe ziehen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Do 18.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Ebenfalls vielen Dank.
Dann ist auch hier
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{(2n+3)!}{(2n+1)!}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{2n+3)(2n+2)} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Du könntest hier den Konvergenzradius wie folgt ermitteln, wegen [mm] $x^{\red{2}*n}$ [/mm] :
$$r \ = \ [mm] \wurzel{\limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \wurzel{\limsup_{n\rightarrow\infty}(2n+1)*(2n+2)} [/mm] \ = \ ... $$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Do 18.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
OK, danke. Hab ich mir schon fast gedacht.
Damit ist r = [mm] \wurzel{\infty} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaRaQ!
Hier handelt es sich ja nicht um eine Potenzreihe. Wende daher folgende ![[]](/images/popup.gif) Formel an:
$$ r \ = \ [mm] \bruch{1}{ \limsup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\left|a_n\right|}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{ \limsup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\left|x^{n!}\right|}} [/mm] \ = \ ... $$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:30 Do 18.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo MaRaQ!
>
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> Hier handelt es sich ja nicht um eine Potenzreihe.
Wie bitte ? Selbstverständlich ist das eine Potenzreihe ! Eine sogenannte "Lückenreihe"
Mit dem Majorantenkriterium siet man sofort: die Reihe konv. für |x|<1.
Dass sie in x =1 divergiert , ist klar. Fazit: der Konvergenzradius ist = 1.
FRED
>Wende
> daher folgende
> Formel an:
>
> [mm]r \ = \ \bruch{1}{ \limsup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\left|a_n\right|}} \ = \ \bruch{1}{ \limsup_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\left|x^{n!}\right|}} \ = \ ...[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:39 Do 18.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Vielen Dank!
Damit habe ich jetzt - glaube ich - für die meisten "Gemeinheiten" gute Rezepte gesammelt.
Das Verinnerlichen und Lernen wird mir wohl kaum jemand abnehmen können. ^^
Nun denn: In meiner Fachliteratur (Barner-Flohr/Forster) finde ich keine Reihen mehr, die mich vor Probleme stellen würden.
Falls hier jemand noch die eine oder andere schwierige kennt, wäre es super, wenn er mir die mal zeigen könnte.
Liebe Grüße, Maraq
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