Konvergenzradius + lim sup < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wieder eine kleine Aufgabe mit einer Frage dazu. Zunächst die Aufgabe und die Musterlösung:
Aufgabe: Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die folgende Potenzreihe konvergiert:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+1)! + n}x^n
[/mm]
Musterlösung:
Es sei [mm] b_n [/mm] := [mm] \frac{n!}{(n+1)! + n}. [/mm] Wegen [mm] b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1+\frac{1}{(n-1)!}} [/mm] und 0 < [mm] \frac{1}{(n-1)!} \le [/mm] 1 folgt:
[mm] \frac{1}{\wurzel[n]{n+2}} \le \wurzel[n]{|b_n|} \le \frac{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm] und damit: [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|b_n|} [/mm] = 1, Konvergenzradius R = 1.
Okay - der Beweis geht noch weiter (Fallunterscheidung mit x = 1 und x = -1) - aber an der Stelle setzt es bei mir schon aus.
Die oben gemachten Umformungen und Abschätzungen sind mir klar. Aber wieso wieso folgt da der limes superior [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|b_n|} [/mm] ?
In meinem Buch steht in diesem Zusammenhang folgendes:
Existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] (mit [mm] a_n [/mm] ist die Folge der Partialsummen der Potenzreihe gemeint), so ist [mm] \frac{1}{r} [/mm] = [mm] \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}} \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] (wobei r der Konvergenzradius sein soll).
Die Musterlösung geht ja davon aus, dass der Limes nicht existiert und wendet dann diese "Formel" an. Aber der Limes existiert doch... denn:
Mit dieser tollen Abschätzung:
[mm] \frac{1}{\wurzel[n]{n+2}} \le \wurzel[n]{|b_n|} \le \frac{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm]
habe ich doch gezeigt, dass er existiert. Habe ihn sogar bestimmt. Und dann kommt plötzlich der lim sup ins Spiel...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Mi 26.03.2008 | | Autor: | pelzig |
> Mit dieser tollen Abschätzung:
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> [mm]\frac{1}{\wurzel[n]{n+2}} \le \wurzel[n]{|b_n|} \le \frac{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> habe ich doch gezeigt, dass er existiert. Habe ihn sogar
> bestimmt. Und dann kommt plötzlich der lim sup ins Spiel...
Richtig, deine Folge [mm] $\sqrt[n]{|b_n|}:=c_n$ [/mm] konvergiert gegen $1$, folgt aus dem Sandwich-Lemma.
Der Limes Superior/Inferior ist doch einfach das Maximum/Minimum der Menge der Häufungspunkte. Konvergente Reihen besitzen immer nur einen Häufungspunkt, d.h. für beliebige Folgen [mm] $a_n$ [/mm] gilt: [mm] $\lim a_n=a\Leftrightarrow\lim\sup a_n=\lim\inf a_n=a$.
[/mm]
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