Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Mo 11.02.2013 | | Autor: | matheist |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^k}{k^3} x^k
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k*2^k} (x-2)^k [/mm] |
Da ich mir sehr unsicher über das genaue vorgehen bin, präsentiere ich zunächst einmal meinen Ansatz für a)
a) Ich versuche es mit folgendem Ansatz: [mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}}
[/mm]
[mm] r=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^k*x^k}{k^3}*\bruch{(k+1)^3}{2^{k+1}*x^{k+1}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^3}{k^3*2x}
[/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter. Kann jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihen
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> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^k}{k^3} x^k[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k*2^k} (x-2)^k[/mm]
> Da
> ich mir sehr unsicher über das genaue vorgehen bin,
> präsentiere ich zunächst einmal meinen Ansatz für a)
>
> a) Ich versuche es mit folgendem Ansatz:
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
>
> [mm]r=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{2^k*x^k}{k^3}*\bruch{(k+1)^3}{2^{k+1}*x^{k+1}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{(k+1)^3}{k^3*2x}[/mm]
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> Hier komme ich nicht mehr weiter. Kann jemand helfen?
Ja: das x hat in deiner Rechnung nichts zu suchen. Schaue nochmal gründlich deine UNterlagen durch!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 11.02.2013 | | Autor: | matheist |
> Ja: das x hat in deiner Rechnung nichts zu suchen. Schaue
> nochmal gründlich deine UNterlagen durch!
[mm] \bruch{2^k}{k^3}*\bruch{(k+1)^3}{2}=\bruch{(k+1)^3}{k^3}*\bruch{1}{2}=\bruch{k^3+3k^2+3k+1}{k^3}=1+\bruch{3}{k}+\bruch{3}{k^2}+\bruch{1}{k^3}
[/mm]
Wenn nun k gegen unendlich strebt ist das Ergebnis 1. Ist damit der Konvergenzradius bestimmt?
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Hallo,
> > Ja: das x hat in deiner Rechnung nichts zu suchen. Schaue
> > nochmal gründlich deine UNterlagen durch!
>
> [mm]\bruch{2^k}{k^3}*\bruch{(k+1)^3}{2}=\bruch{(k+1)^3}{k^3}*\bruch{1}{2}=\bruch{k^3+3k^2+3k+1}{k^3}=1+\bruch{3}{k}+\bruch{3}{k^2}+\bruch{1}{k^3}[/mm]
>
> Wenn nun k gegen unendlich strebt ist das Ergebnis 1. Ist
> damit der Konvergenzradius bestimmt?
Es ist dir unterwegs der Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm] verloren gegangen. Prinzipiell bist du aber fertig, an deinen Schreibweisen solltest du noch arbeiten. Generell sollte man bspw. zunächst Betragsklammern setzen:
[mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right |[/mm]
die man dann hier natürlich im nächsten Schritt sofoert weglassen kann, das ist dan auch klar.
Der Konvergenzradius ist hier somit
[mm] r=\bruch{1}{2}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 11.02.2013 | | Autor: | matheist |
Danke!
Ich denke ich kann nun auch die zweite Aufgabe lösen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k} (x-2)^k=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{2-x}{2})^k*\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|(\bruch{2}{2})^k*\bruch{1}{k}|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[k]{k}}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}=1
[/mm]
Ist das richtig?
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Bei deinem Kriterium musst du den Limes Superior betrachten.
Ansonsten sieht es eig. richtig aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 11.02.2013 | | Autor: | matheist |
Wäre die richtige Schreibweise [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}sup\wurzel[k]{k}=1 [/mm] ?
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Im prinzip ja, schau nochmal hier nach:
![[]](/images/popup.gif) klick
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Di 12.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
>
> Ich denke ich kann nun auch die zweite Aufgabe lösen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k} (x-2)^k=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{2-x}{2})^k*\bruch{1}{k}[/mm]
Mit dieser (richtigen ) Umformung rennst Du ins Verderben. Siehe unten.
>
> [mm]r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|(\bruch{2}{2})^k*\bruch{1}{k}|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[k]{k}}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}=1[/mm]
>
> Ist das richtig?
Nein. Die koeffizienten der Potenzreihe lauten
[mm] a_k=\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 12.02.2013 | | Autor: | matheist |
> Nein. Die koeffizienten der Potenzreihe lauten
>
> $ [mm] a_k=\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k} [/mm] $
[mm] r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|(\bruch{(-1)^k}{k*2^k}}|}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{2\wurzel[k]{k}}}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Ist es jetzt korrekt?
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Hallo matheist,
> > Nein. Die koeffizienten der Potenzreihe lauten
> >
> > [mm]a_k=\bruch{(-1)^k}{k\cdot{}2^k}[/mm]
>
>
> [mm]r=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|(\bruch{(-1)^k}{k*2^k}}|}=\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{2\wurzel[k]{k}}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]=\bruch{1}{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist doch wohl [mm]\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/mm] ...
>
> Ist es jetzt korrekt?
Gruß
schachuzipus
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