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| Aufgabe | (i) Gegeben sei die Potenzreihe [mm] $\summe_{n=0}^\infty a_nz^n$.
[/mm]
Wir definieren [mm] $\rho [/mm] := [mm] \lim_{n\to \infty} \bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|}$, [/mm] falls der Grenzwert existiert, bzw. [mm] $\rho [/mm] := [mm] \lim_{n\to \infty} \bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|}\to \infty$ [/mm] für [mm] $n\to \infty$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\rho$ [/mm] der Konvergenzradius der Potenzreihe ist.
(ii) Berechnen Sie die Konvergenzradien für folgende Potenzreihen:
[mm] $\summe_{n=0}^\infty \bruch{100^n}{1*2*3*...*(2n+1)}z^n, \summe_{n=1}^\infty \bruch{n!}{2+i^n}z^n, \summe_{n=1}^\infty \bruch{n^n}{n!}z^n [/mm] , [mm] \summe_{n=0}^\infty \bruch{2^n}{2^n+1} z^n^2.$ [/mm] |
Also die erste Aufgabe habe ich wie folgt gemacht:
Wir definieren:
[mm] $a_nz^n=:b_n$
[/mm]
Laut dem Quotientenkriterium ist [mm] $\summe_{n=0}^\infty b_n$ [/mm] konvergent, wenn gilt:
[mm] $\lim_{n\to \infty} \bruch{a_{n+1}}{a_n}<1$
[/mm]
Somit muss gelten:
[mm] $\lim_{n\to \infty}|\bruch{a_{n+1}*z^{n+1}}{a_n*z^n}|<1$
[/mm]
und:
[mm] $\lim_{n\to \infty}|\bruch{a_{n+1}*z^{n+1}}{a_n*z^n}|=\lim_{n\to \infty}|\bruch{a_{n+1}*z}{a_n}|$
[/mm]
Somit ergibt sich:
$|z|< [mm] \bruch{1}{ \lim_{n\to \infty}{ |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|}}=\lim_{n\to \infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|$
[/mm]
Somit gilt:
die Potenzreihe ist für [mm] $|z|<\lim_{n\to \infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\rho$ [/mm] konvergent, also ist [mm] $\rho$ [/mm] der Konvergenzradius.
Bei der (ii) die erste, habe ich raus, dass die Reihe auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert.
Bei der 2. hänge ich gerade.
Da habe ich bis jetzt:
[mm] $\lim_{n\to \infty} \bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|}= |\bruch{2+i^{n+1}}{(n+1)(2+i^n)} [/mm] |$ jedoch weiß ich hier nicht weiter.
Vielen Dank
LG
Dudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Di 31.01.2012 | | Autor: | wauwau |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auf grund der ungleichung
$||a|-|b|| \le |a+b| \le |a|+|b|$
kriegst du raus, dass
$\frac{2+i^{n+1}}{2+i^n}}$ beschränkt ist, daher ist Konvergenzradius=0!
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Okay, dann habe ich die auch gelöst. vielen dank.
Bei der 3. habe ich einen Konvergenzradius von [mm] $\bruch{1}{e}$ [/mm] rausbekommen.
Jedoch habe ich noch Probleme bei der 4.
Da ich durch dieses [mm] $z^n^2$ [/mm] etwas ittitiert bin.
Hat da vllt noch jemand einen Tipp?
Vielen Dank :)
LG Dudi
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> Jedoch habe ich noch Probleme bei der 4.
> Da ich durch dieses [mm]z^{n^2}[/mm] etwas ittitiert bin.
> Hat da vllt noch jemand einen Tipp?
Hallo,
[mm] z^{n^2}=z^{n*n}=(z^{n})^n.
[/mm]
Setze [mm] y:=z^n [/mm] und berechne zunächst den Konvergenzradius von [mm] \summe_{n=0}^\infty \bruch{2^n}{2^n+1}y^n.
[/mm]
LG Angela
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