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Hallo,
Aufgabe: Bestimmen sie den Konvergenzradius p der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k^a} [/mm] für [mm] a\ge0
[/mm]
Nun gut, ich forme um: [mm] \bruch{1}{k^a} [/mm] * [mm] k^k.
[/mm]
Wenn a>1 dann ist die reihe konvergent.
Ist dann mein Konvergenzradius [mm] \bruch{1}{a} [/mm] für a>1 ?
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Fr 03.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Aufgabe: Bestimmen sie den Konvergenzradius p der Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{x^k}{k^a}[/mm] für [mm]a\ge0[/mm]
> Nun gut, ich forme um: [mm]\bruch{1}{k^a}[/mm] * [mm]k^k.[/mm]
??????????????????????????
> Wenn a>1 dann ist die reihe konvergent.
> Ist dann mein Konvergenzradius [mm]\bruch{1}{a}[/mm] für a>1 ?
>
> Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Deine potenzreihe ist von der Form
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_kx^k [/mm] mit [mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{k^a}
[/mm]
Nun berechne mal
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{|a_k|}
[/mm]
Was ist dann der Konvergenzradius ?
FRED
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Also die K-te Wurzel aus irgendwas , hier ak, für k gegen unendlich hat als GW ja immer 1.
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> Also die K-te Wurzel aus irgendwas , hier ak, für k gegen
> unendlich hat als GW ja immer 1.
Hallo,
naja, daß es völlig schnuppe ist, woraus man die k-te Wurzel zieht ("aus irgendwas"), glaube ich nun nicht...
Gruß v. Angela
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Naja aus x element R halt oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 03.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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Nun soll ich das KOnvergenzverhalten der Reihe für |x|=p untersuchen für
a=0,0<a<=1,a>1.
Aber a ist ja hier garnicht von bedeutung da mein Konvergenradius immer 1 ist egal was a ist.
Das einzige was ich dazu sagen könnte wäre das wenn a=0 die Reihe divergiert, für 0<a<=1 divergiert udn für a>1 konvergiert aufgrund von [mm] \bruch {1}{k^a}*x^k [/mm] und abhängig von a die Konvergenz zu prüfen ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Fr 03.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Für x =1 bzw. x = -1 mußt Du untersuchen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^a} [/mm] $ bzw $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k^a} [/mm] $
Ich denke über diese Reihen habt Ihr schon einiges gelernt !
FRED
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Ich hätte gesagt für :
+1 : a=0-> a < 1 also divergent
-1 dasselbe
+1: a<0<=1 ->a <1 also divergent
-1 dasselbe
+1 a>1 -> a>1 also konvergent
-1 dasselbe
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Fr 03.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich hätte gesagt für :
> +1 : a=0-> a < 1 also divergent
O.K.
> -1 dasselbe
Falsch
> +1: a<0<=1 ->a <1 also divergent
Es ist doch a [mm] \ge [/mm] 0 vorausgesetzt !
> -1 dasselbe
> +1 a>1 -> a>1 also konvergent
O.K.
> -1 dasselbe
O.K.
Bei x =-1 denke an das Leibnizkriterium !
FRED
>
> Richtig?
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Ja aber bei a=0 steht da
[mm] -(1)^k.
[/mm]
Mittles Leibnitz für k gerade ist der GW 1 und ungerade (-1).
Also ungleich 0 von daher divergierts doch oder?
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Hallo,
> Ja aber bei a=0 steht da
> [mm]-(1)^k.[/mm]
Du meinst, dass du für $x=-1$ und $a=0$ die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k$ [/mm] hast ...
Klammern richtig setzen!
> Mittles Leibnitz für k gerade ist der GW 1 und ungerade
> (-1).
> Also ungleich 0 von daher divergierts doch oder?
Es ist [mm] $(-1)^k=(-1)^k\cdot{}1=(-1)^k\cdot{}a_k$
[/mm]
Um mit Leibniz überhaupt eine Aussage treffen zu können, müsste [mm] $(a_k)_{k}=(1)_k$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge sein ...
Wenn das nicht so ist, ist Leibniz nicht brauchbar
Hier bei der Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k$ [/mm] kannst du mit dem Trivialkriterium argumentieren, so wie du es gemacht hast und daraus folgen, dass die Reihe also für $x=-1, a=0$ divergent ist
LG
schachuzipus
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Ja hab ich ja aber Fred97 hat gemeint das wäre falsch und ich soll an das leibnitz Kriterium denken ???!???
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Hallo nochmal,
> Ja hab ich ja aber Fred97 hat gemeint das wäre falsch und
> ich soll an das leibnitz Kriterium denken ???!???
Ja, für $x=-1$ und $a>0$
Für $a=0$ hast du diesen Spezialfall
LG
schachuzipus
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Mh, ich verstehe leider garnichts mehr. Was habe ich jetzt genau wie falsch gemacht und wie macht man es richtig???
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Hallo nochmal,
ich werde aus deinem Geschreibsel oben nicht recht schlau ...
Vllt. kannst du nochmal die Fälle für $a$ aufschreiben, wobei $x=-1$ ist ...
Die anderen scheinen ja geklärt.
Den Fall $a=0$ hatten wir, wie sieht's für $a>0$ aus?
Sind da die Vor. für Leibniz erfüllt?
Du hat ja die Reihen [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{k^{a}}$
[/mm]
Schreibe es mal sauber und strukturiert auf, dann sehen wir weiter ...
LG
schachuzipus
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Den Fall a>0 gibt es nicht nur [mm] 0
Und dafür ist die Reihe divergent für (-1) da a nicht >als 1 ist.
Sie ist nur konvergent fpr a>1 unabhängig ob im Zähler 1 oder (-1) steht.
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Hallo nochmal,
> Den Fall a>0 gibt es nicht ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
In deinem ersten post steht [mm] $a\ge [/mm] 0$ Wieso gibt es da denn Fall $a>0$ nicht?
> nur [mm]0
?? Wie passt das zu deiner vorherigen Aussage? Ist $a$ mit [mm] $0
> Und dafür ist die Reihe divergent für (-1) da a nicht
> >als 1 ist.
> Sie ist nur konvergent fpr a>1 unabhängig ob im Zähler 1
> oder (-1) steht.
Nein!
Das stimmt nur für den Randpunkt $x=1$ des Konvergenzradius.
Für den anderen Randpunkt, also $x=-1$ und mithin die Reihen [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{k^{a}}$ [/mm] stimmt das nicht.
Zb. hast du für $a=1$ in diesem Falle (also für $x=-1$) die alternierende harmonische Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k}$, [/mm] die bekanntermaßen konvergent ist!
Den Fall $a=0$ hatten wir schon als divergent abgehakt, im Falle $a>0$ solltest du dir mal das Leibnizkriterium ansehen.
Wieso gehst du keinem der Hinweise nach, die dir gegeben werden?
Das schreiben wir ja nicht zum Spaß auf oder um dich zu ärgern ...
Was sind die Voraussetzungen für Konvergenz gem. dem Leibnizkriterium?
Schlage das nach und überprüfe diese Kriterien!
LG
schachuzipus
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Ich gehe den Hinweisen nach aber ich komme damit nicht so ganz klar.
Ich habe vom Professor gelernt das bei einer Reihe der Gestalt :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^a} [/mm] diese konvergent ist wenn a>1 ist was ja nur im 3 Fall ist.
Sprich für x=1 und a<0 und [mm] 0
Für x=-1 habe ich im ersten Fall ( also a<0 )
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^a} [/mm]
ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\(-1)^k [/mm] und hier ist der GW für k gerade und k ungerade ( Leibnitz ) nicht 0 also divergiert die Reihe.
Für den 2. Fall a<0 und [mm] 0
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k^a} [/mm] mit a<1 also divergent für x=1 und für x=-1 konvergent da bildet streng monoton fallende Nullfolge.
Und für
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^a} [/mm] mit a>1 ist die reihe konvergent für x=1 und x=-1.
Das ist was ich dazu gerechnet habe. Ist das also falsch oder nicht ?
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Korrektur meinte am Anfang ist diese divergent.
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Hallo nochmal,
du hast ein totales Chaos in den Fällen, sortieren wir mal ...
> Ich gehe den Hinweisen nach aber ich komme damit nicht so
> ganz klar.
> Ich habe vom Professor gelernt das bei einer Reihe der
> Gestalt :
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^a}[/mm] diese konvergent ist
> wenn a>1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist was ja nur im 3 Fall ist.
Hmm
> Sprich für x=1 und a<0 und [mm]0
> Für x=-1 habe ich im ersten Fall ( also a<0 )
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^a}[/mm]
> ist [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\(-1)^k[/mm] und hier ist der GW für k
> gerade und k ungerade ( Leibnitz ) nicht 0 also divergiert
> die Reihe.
> Für den 2. Fall a<0 und [mm]0
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k^a}[/mm] mit a<1 also
> divergent für x=1 und für x=-1 konvergent da bildet
> streng monoton fallende Nullfolge.
> Und für
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^a}[/mm] mit a>1 ist die reihe
> konvergent für x=1 und x=-1.
> Das ist was ich dazu gerechnet habe. Ist das also falsch
> oder nicht ?
Das ist mir zu sehr durcheinander.
Wir haben 2 Hauptfälle:
1.Fall $x=1$.
Das sind die Reihen [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{a}}$
[/mm]
Da kannst du auftrumpfen und hast richtig gesagt, dass für
Fall 1a) [mm] $0\le a\le [/mm] 1$ die Reihen diesen Typs divergieren und
Fall 1b) $a>1$ die Reihen konvergieren
2.Fall $x=-1$
Fall 2a) $a=0$, das gibt die Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k$, [/mm] die divergent ist, was wir schon festgestellt hatten.
Fall 2b) $a>0$
Hier hingen wir und hier ist Leibniz angesagt.
Wir haben hier im Fall die Reihen [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{k^{a}}$ [/mm] mit $a>0$
Nun ist die Folge [mm] $(a_k)_{k\in\IN}=\left(\frac{1}{k^{a}}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] für $a>0$ eine monoton fallende Nullfolge mit ausschließlich positiven Gliedern, denn .... ?
Das solltest du bitte begründen
Also konvergieren in diesem Falle nach Leibniz die Reihen [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{k^{a}}$ [/mm] ($a>0$)
LG
schachuzipus
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...mit ausschließlich positiven Gliedern da sie nicht alternierend ist.
Also für den Fall [mm] 01 [/mm] konvergiert die Reihe.
Was mach ich da jetzt mit Leibnitz. es hieß ja das [mm] ((-1)^k)/k [/mm] eine konvergente alternierende Reihe ist unabhängig von a ?!?!
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Warum ist eigentlich 1/k divergent ( wegen [mm] k^a [/mm] mit a=1 im Nenner ) und (-1)/k konvergent ????
Glaub da liegt das Verständnisproblem
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Meinte natürlich [mm] (-1)^k/k
[/mm]
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Kann sich dem vielleicht noch einer kurz annehmen, kann sonst nicht weiterlernen .Vielen lieben dank
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Hallo nochmal,
> ...mit ausschließlich positiven Gliedern da sie nicht
> alternierend ist.
und die k alle >0 sind.
Was ist mit der Monotonie?
Das ist eine der zentralen Voraussetzungen für Leibniz, das sollte also erfüllt sein und bedarf einer kurzen Begründung
> Also für den Fall [mm]01[/mm] konvergiert die
> Reihe.
Ja, also für $a>0$, das ist gleichbedeutend mit deinem [mm] $0
Wieso schreibst du das so umständlich?
> Was mach ich da jetzt mit Leibnitz.
Der gute Mann schreibt sich ohne tz
Leibniz liefert dir doch gerade die Konvergenzaussage:
Zum 10. Mal:
Für $x=-1$ und $a>0$ hast du die Reihen [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^{a}}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\underbrace{\frac{1}{k^{a}}}_{a_k}$ [/mm] und die Folge [mm] $(a_k)_{k\in\IN}=\left(\frac{1}{k^{a}}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge mit ausschließlich positiven Gliedern
Damit konvergieren all diese Reihen nach Leibniz
> es hieß ja das
> [mm]((-1)^k)/k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine konvergente alternierende Reihe ist
> unabhängig von a ?!?!
Aha, unabhängig von \gamma auch ...
Du solltest genauer schreiben, was du meinst
Sagen wir besser für $a>0$ und du meinst die Reihen $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^{\red{a}}$
Wieso lässt du das a eigentlich weg??
LG
schachuzipus
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