Konvergenzradius < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mo 14.03.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen bitte???
ich soll den Konvergenzradius der Potenzreihe p(x) mit [mm] x_0=1 [/mm] und das Konvergenzverhalten an den Randpunkten des Konvergenzintervalls bestimmen
p(x) = [mm] \sum_{n>0}^{\infty} \bruch{2^n(x-1)^n}{n(n+1)}
[/mm]
bitte mal Schritt für Schritt erklären, das wär lieb
Danke
|
|
| |
|
Also zunächst einmal ist dein Problem gleichbedeutend wie das finden des Konvergenzradiuses von [mm] \sum 2^n [/mm] / n(n+1) [mm] \times x^n [/mm] um x=0.
Nun solltest du Hadamards Formel für den Konvergenzradius von Potenzreihen suchen und mit ihr den Radius herausfinden (ist nach meiner Rechnung 1/2, aber versuchs selbst.
viele Grüße
Michael
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 14.03.2005 | | Autor: | mausi |
oki also
r = [mm] \bruch{1}{\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{|a_n|} }
[/mm]
dabei wird [mm] \bruch{1}{0}= \infty [/mm] und [mm] \bruch{1}{\infty }= [/mm] 0
so und für [mm] x_0 [/mm] = 1 setze ich nur ein deswegen komme ich auf [mm] \sum_{n>0}^{\infty}\bruch{2^n}{n(n+1)} [/mm] nich war?
und wie setze ich das jetzt richtig ein in die formel für den konvergenzradius? die 2 mit in die wurzel oder vorher?
danke
|
|
|
| |
|
Hallo.
> oki also
> r = [mm]\bruch{1}{\lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{|a_n|} }
[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") stimmt im Groben so, aber man sollte bedenken, daß ja kein limes existieren muß, beispielsweise könnte [mm] $\wurzel[n]{|a_n|}$ [/mm] ja auch zwischen zwei Werten wild hin und her hüpfen. In so einem Fall müßte man natürlich den größten dieser Werte nehmen, deswegen schreibt man die Formel eigentlich mit lim sup.
In unserem Fall ist [mm] $\wurzel[n]{|a_n|}$ [/mm] aber konvergent, deswegen gilt ja
lim = lim sup.
> so und für [mm]x_0[/mm] = 1 setze ich nur ein deswegen komme ich auf
> [mm]\sum_{n>0}^{\infty}\bruch{2^n}{n(n+1)}[/mm] nich war?
Das verstehe ich so nicht ganz... mit [mm] $a_n$ [/mm] sind ja die Koeffizienten vor [mm] $x^n$ [/mm] gemeint, deswegen haben wir:
[mm] $a_n=\bruch{2^n}{n(n+1)}$.
[/mm]
Diese [mm] $a_n$-s [/mm] sind alle positiv, deswegen können wir den Betrag ruhig vergessen, und damit erhalten wir, mit ziehen der nten Wurzel:
[mm] $\wurzel[n]{|a_n|}=\wurzel[n]{a_n}$
[/mm]
[mm] $=\wurzel[n]{\bruch{2^n}{n(n+1)}}=\frac{2}{\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{n+1}}$.
[/mm]
In diesem Term geht der Nenner gegen 1, wie man sich leicht klar machen kann, deshalb geht [mm] $\wurzel[n]{|a_n|}$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 2.
Damit ist der Konvergenzradius [mm] $\rho=\frac{1}{2}$, [/mm] nach der Formel von Cauchy-Hadamard.
Hast Du das so verstanden? Wenn nicht, kannst Du ja einfach nochmal nachfragen.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 14.03.2005 | | Autor: | mausi |
ja danke habe ich gut verstanden und den zweiten teil der Aufgabe?
das Konvergenzverhalten an den Randpunkten des Konvergenzintervalls bestimmen???
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal.
Das Verhalten an den Randpunkten ist hier recht einfach.
Prinzipiell mußt Du erstmal die Randpunkte bestimmen.
Diese sind hier, da der Entwicklungspunkt bei 1 liegt: [mm] x_1=1+2=3 [/mm] und [mm] x_2=1-2=-1.
[/mm]
Diese setzt Du als x-Werte in die Reihe ein und untersuchst, ob die Reihe, die dabei entsteht, konvergent ist.
Tip: Das Wurzelkriterium hilft hier in beiden Fällen.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 14.03.2005 | | Autor: | mausi |
Kannst du bitte nochmal erklären wie man genau auf die randpunkte kommt irgendwie verstehe ich nicht wie die sich errechnen bei dir
danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Di 15.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebes Mausi
eins haben wir gemeinsam: wir verstehens beide nicht!
Das liegt aber nicht an uns, sondern daran, dass sich bei Christian ein kleiner Fehler eingeschlichen hat!
Der Konvergenzradius ist ja [mm] $\bruch{1}{2}$, [/mm] und nicht $2_$
Das Konvergenzverhalten am Rand kannst du nur untersuchen, indem du die Randpunkte einsetzt und die Reihe auf Konvergenz untersuchst.
Bei dieser Reihe: [mm] $\sum_{n=1}^\infty{\bruch{2^n}{n(n+1)}x^n}$
[/mm]
haben wir ja [mm] $x_0=0$ [/mm] als Intervallzentrum genommen.
Du hast also die beiden Reihen zu untersuchen einerseits mit [mm] $x=\bruch{1}{2}$ [/mm] und [mm] $x=-\bruch{1}{2}$
[/mm]
Also für [mm] $x=\bruch{1}{2}$:
[/mm]
[mm] $\sum_{n=1}^\infty{\bruch{2^n}{n(n+1)}\bruch{1}{2^n}}=\sum_{n=1}^\infty{\bruch{1}{n(n+1)}}=\sum_{n=1}^\infty{\bruch{1}{n^2+n}}<\sum_{n=1}^\infty{\bruch{1}{n^2}}$
[/mm]
Das konvergiert also (Majorantenkriterium).
Für [mm] $x=-\bruch{1}{2}$ [/mm] bekommst du einfach die entsprechende alternierende Reihe, die somit auch konvergiert (bitte selber mal kurz überprüfen) 
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 15.03.2005 | | Autor: | mausi |
Danke Paulus
Die Randpunkte sind also - 1/2 und 1/2 sie ergeben sich also aus dem Konvergenzradius wenn ich das jetzt richtig verstehe
und bei meiner Aufgabe ist [mm] x_0 [/mm] = 1 bleibt die deine Lösung dann trotzdem gleich???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Di 15.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebes Mausi
die Ueberlegungen bleiben exakt die gleichen.
Die Randpunkte deiner Reihe sind aber [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\bruch{3}{2}$, [/mm] weil ja das Intervallzentrum bei [mm] $x_0=1$ [/mm] liegt.
(In der Reihe steht ja auch [mm] $(x-1)^n$, [/mm] und nicht [mm] $x^n$ [/mm] )
Für deine Originalreihe kann also gesagt werden: aufgrund der Untersuchung des Konvergenzradius hat sich ergeben, dass die Reihe für
[mm] $\bruch{1}{2} [/mm] < x < [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm]
konvergiert.
Die weiteren Untersuchungen an den Intervallgrenzen haben weiterhin gezeigt, dass die Reihe sowohl auf dem linken wie auch auf dem rechten Intervallrand konvergiert.
Insgesamt ergibt sich also:
die Reihe ist konvergent für [mm] $\bruch{1}{2} \le [/mm] x [mm] \le \bruch{3}{2}$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Di 15.03.2005 | | Autor: | mausi |
alles klar merci Paulus
|
|
|
|
