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| Aufgabe | Es sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^n [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R [mm] \in (0,\infty). [/mm] Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n^2} [/mm] |
Meine Idee:
Erst einmal schaue ich wie die Summe denn aussieht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n x^{n^2}
[/mm]
= [mm] a_0 [/mm] + a_1x + [mm] 0*x^2 [/mm] + [mm] 0*x^3 [/mm] + [mm] a_2*x^4 [/mm] + [mm] 0*x^5 [/mm] + [mm] 0*x^6
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_i x^{n} [/mm] , mit [mm] b_i =\begin{cases} a_{\wurzel{i}} & \mbox{falls } \exists n \in \IN \mbox{ mit } i = n*n \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Jetzt versuche ich mit der Wurzelvariante den Konvergenzradius R' zu bestimmen.
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty}sup \wurzel[i]{|b_i|}
[/mm]
Da [mm] |a_n| \ge [/mm] 0 reicht es die [mm] b_i [/mm] zu betrachten für die gilt i = n*n
also die [mm] b_i [/mm] für die gilt:
[mm] b_i [/mm] = [mm] a_{\wurzel{i}} [/mm] = [mm] a_{\wurzel{n*n}}
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty}sup \wurzel[i]{|b_i|}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n*n]{|a_{n*n}|} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup (|a_{\wurzel{n*n}}|)^{\bruch{1}{n*n}}
[/mm]
Für n gegen unendlich geht der exponent gegen 1, [mm] \limes [/mm] sup von [mm] a_{n*n} [/mm] = [mm] \limes [/mm] sup [mm] a_{n}
[/mm]
Also R' = [mm] R^1 [/mm] = R
Beide Reihen haben den gleichen Konvergenzradius.
Funktioniert das so? Hab sonst echt keine Idee wie ich sosnt an die Aufgabe gehen soll.
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Deine Überlegungen können nicht stimmen. Betrachte die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \, x^n[/mm]. Sie hat offenbar den Konvergenzradius [mm]R=2[/mm]. Und auf die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \, x^{n^2}[/mm] wenden wir für [mm]x \neq 0[/mm] direkt das Quotientenkriterium an (die Konvergenz bei [mm]x=0[/mm] ist sowieso klar). Mit [mm]b_n = \frac{x^{n^2}}{2^n}[/mm] folgt:
[mm]\frac{\left| b_{n+1} \right|}{\left| b_n \right|} = \frac{1}{2} \cdot |x|^{2n+1}[/mm]
Ist nun [mm]|x|<1[/mm], so strebt der letzte Ausdruck für [mm]n \to \infty[/mm] gegen 0. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe für diesen Fall. Ist dagegen [mm]|x|>1[/mm], so strebt der Ausdruck gegen [mm]\infty[/mm]. Für solche [mm]x[/mm] haben wir also Divergenz. Damit muß [mm]R'=1[/mm] der Konvergenzradius sein.
Überlege einmal, inwiefern sich diese Argumentation verallgemeinern läßt.
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