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Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage. Es geht um den konvergenzradius. Was genau kann ich mir darunter vorstellen??? Und wie berechne ich sowas??? Es geht ja hier um die Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^{n}
[/mm]
Aber was genau sagt mir das jetzt??? Ich habe dazu irgednwie keine guten Beispiele gefunden!!!
Wäre für jede Hilfe dankbar. Mit freunldichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Do 03.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo domenigge,
> Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage. Es geht um den
> konvergenzradius. Was genau kann ich mir darunter
> vorstellen??? Und wie berechne ich sowas??? Es geht ja hier
> um die Form [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Aber was genau sagt mir das jetzt??? Ich habe dazu
> irgednwie keine guten Beispiele gefunden!!!
wendest Du das Wurzelkriterium auf diese Reihe an, so gilt ja:
Konvergenz liegt jedenfalls vor für alle $x$ mit
$\limsup_{n \to \infty}{\sqrt[n]{|a_n||(x-x_0)^n|} < 1$
und Divergenz liegt jedenfalls vor für alle $x$ mit
$\limsup_{n \to \infty}{\sqrt[n]{|a_n||(x-x_0)^n|} > 1$
Da $|(x-x_0)^n|=|x-x_0|^n$ folgt damit dann $\sqrt[n]{|x-x_0|^n}=|x-x_0|$, und daher:
Die Reihe konvergiert jedenfalls für alle $x$ mit
$|x-x_0| < \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
und sie divergiert jedenfalls für alle $x$ mit
$|x-x_0| > \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
Daher setzt man $R:=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ und nennt diesen Wert den Konvergenzradius (wobei man $\frac{1}{0}:=\infty$ setzt, da dann obige Reihe überall konvergiert und $\frac{1}{\infty}:=0$, da dann obige Reihe genau im Punkte $x=x_0$ - und zwar gegen $a_0$ - konvergiert (da im Falle $x=x_0$ gilt $\sum_{n=0}^\infty a_n(x_0-x_0)^n=a_0$)).
Nun zu Deiner eigentlichen Frage:
Wieso heißt $R$ nun Konvergenzradius? Nun, oben steht es:
Bei der Reihe $(\*)$ $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ fragt man sich, ob man Aussagen über das Konvergenzverhalten der Reihe machen kann.
Das hängt natürlich i.a. davon ab, welches $x$ gewählt wird, denn innerhalb der Reihe steht eine Abhängigkeit von $x$. Man nennt dieses Ding auch "Potenzreihe" und schreibt formal auch $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$, wobei bei dieser Notation ja eine Funktion angedeutet wird und es eigentlich etwas problematisch ist, das hinzuschreiben, weil die Reihe rechterhand ja für gewisse $x$-Werte divergieren kann. Daher spricht man - bei dieser Notation - von einer "formalen Potenzreihe", d.h. man schreibt die Reihe einfach hin und nennt diesen Term so, ohne Beachtung der Konvergenz und Divergenz der Reihe.
Kommen wir aber zurück:
Nun hätte man aber doch gerne Aussagen, wann die Reihe bei $(\*)$ konvergiert, und wann sie divergiert (eine Charakterisierung wäre schön, aber das bekommt man leider nicht raus):
Dazu berechnet man zunächst $R:=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$, und damit weiß man folgendes:
Wenn $x$ mit $|x-x_0| < R$ ist, dann konvergiert die Reihe in $(\*)$. D.h. wähle ich ein $x$ aus dem Inneren des Kreises $U_R(x_0):=\{z: |z-x_0| < R\}$, so weiß ich, dass dann die Reihe aus $(\*)$ für dieses $x$ konvergiert.
(Im Falle $\IR$ ist $U_R(x_0)=]x_0-R,x_0+R[$.)
Wenn $x$ nun außerhalb von $K_R(x_0):=\overline{U_R(x_0)}=\{z: |z-x_0|\blue{\le} R\}$ gewählt wird (d.h. wenn $|x-x_0| > R$), dann divergiert die Reihe aus $(\*)$ für dieses $x$.
Beachte bitte:
Man weiß damit:
Wenn $x$ mit $|x-x_0|<R$, dann jedenfalls konvergiert die Reihe aus $(\*)$ und wenn $x$ mit $|x-x_0| > R$, dann divergiert die Reihe aus $(\*)$ jedenfalls.
Für $|x-x_0|=R$ läßt sich i.a. keine Aussage treffen, d.h. da muss man sich meist separat Gedanken zu machen.
Beispiel:
Betrachte mal (I) $\sum_{n=0}^\infty \underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\right)^n}_{=a_n} (x-3)^n$ (beachte: $a_n=\pi^{-n}$).
Hier erkennt man in banaler Weise
$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{\pi}$, also $R=\pi$. Daher weiß man:
Ist $x$ mit $|x-3| < \pi$, so konvergiert die Reihe aus (I), und ist $x$ mit $|x-3| > \pi$, so divergiert die Reihe aus (I).
Im reellen Falle heißt das schonmal, dass man weiß:
Die Reihe aus (I) konvergiert für alle $x \in ]3-\pi,3+\pi[$ und sie divergiert für alle $x \not\in [3-\pi,3+\pi]$. An den Stellen $x_{1,2}:=3\pm\pi$ muss man die Reihe aus (I) separat untersuchen.
Beispiel:
a) Für $x=7$ gilt, dass $|x-3|=7-3=4 > \pi$. Die Reihe $\sum_{n=0}^\infty \underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\right)^n}_{=a_n} (x-3)^n$ divergiert also für $x=7$.
b) Für $x=1$ gilt, dass $|1-3|=-(-2)=2 < \pi$. Die Reihe $\sum_{n=0}^\infty \underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\right)^n}_{=a_n} (x-3)^n$ konvergiert also für $x=1$.
Im komplexen Falle heißt das:
Zeichne die Zahl $x_0=3+0*i$ in die Gaußebene (also im $\IR^2$ hat diese die Koordinaten (3,0)) und schlage um diese einen Kreis mit Radius $\pi$. Im Inneren dieses Kreises (also ohne Rand!) weißt Du dann, dass die obige Reihe (I) konvergiert, außerhalb des abgeschlossenen Kreises (also auch ohne den Rand!) weißt Du, dass die obige Reihe divergiert. Auf dem Rand, d.h. also für alle komplexen $x$ mit $|x-3|=\pi$, weißt Du leider nichts über das Konvergenzverhalten der Reihe aus (I) (jedenfalls nicht ohne Zusatzüberlegungen; also der Satz von Cauchy-Hadamard alleine genügt hier nicht, um dort Aussagen treffen zu können).
P.S.:
Natürlich wird im komplexen Falle i.a. das $x_0$ auch $\in \IC$ sein, das heißt, dass ich oben im Bsp. $x_0=3 \in \IR$ gewählt habe, hatte hier eigentlich nur den Grund, dass ich die allgemeinere Aussage für $\IC$ auch anhand eines Beispieles, wo es nur um $\IR$ geht, veranschaulichen wollte.
Gruß,
Marcel
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