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Konvergenzradius+menge: Abschätzung einer Reihe/Folge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Do 06.12.2007
Autor: Sashman

Aufgabe
Gegenben sei folgende Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}(x\cos\frac{1}{n}-\cos\frac{-1}{n})^n$. [/mm] Geben Sie den Entwicklungspunkt a sowie die Koeffizienten [mm] $a_n$ $n\in\IN$ [/mm] an. Bestimmen Sie Konvergenzradius und Konvergenzmenge der Reihe.

Moin an alle!

Was ich bisher getan habe:

habe erstmal die Reihe derart umgestellt das die Potenzreihe zu erkennen ist:

[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}(x\cos\frac{1}{n}-\cos\frac{-1}{n})^n=\sum_{n=1}^{\infty}(x-1)^n(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm]

und somit Entwicklungspunkt $a=1$ und [mm] $a_n:=(\cos\frac{1}{n})^n$. [/mm] Nun Konvergenzradius mit der hadamardschen Gleichung bestimmt:

[mm] $r=\frac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}}\to [/mm] 1$

also konvergiert die Reihe in $]0,2[$ punktweise. bleiben die Randpunkte zu betrachten. Es ist also die Konvergenz der beiden Reihen:

[mm] $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=1}^\infty(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] zu prüfen.

Und hier liegt der Hund begraben. Ich schaffe es einfach nicht die Reihen günstig abzuschätzen. Weder gelingt es mir das monotone Wachsen von [mm] $(a_n)=(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] zu zeigen noch das [mm] $(a_n)=(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] gegen $1$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm]
beides würde ja die vermutete Divergenz der Reihen bedeuten.

Ich hoffe von euch weiß jemand Rat

mFg Sashman

        
Bezug
Konvergenzradius+menge: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 Fr 07.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Sashman!


Schätze den Cosinus mittels der Reihendarstellung ab:
[mm] $$\red{\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}\pm [/mm] ... \ [mm] \red{\ge \ 1-\bruch{x^2}{2!}}$$ [/mm]

Damit wird:
[mm] $$\left[\cos\left(\bruch{1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \left[1-\bruch{\left(\bruch{1}{n}\right)^2}{2!}\right]^n [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius+menge: Nachfrage
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 15:51 Sa 08.12.2007
Autor: Sashman

Hallo Loddar!

> Damit wird:
>  [mm]\left[\cos\left(\bruch{1}{n}\right)\right]^n \ \ge \ \left[1-\bruch{\left(\bruch{1}{n}\right)^2}{2!}\right]^n \ = \ ...[/mm]

so gemeint??

[mm] $\left[\cos(\frac{1}{n})\right]^n\ge\left(1-\frac{1}{2n^2}\right)^n\ge(1-\frac{1}{n})^n\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{1}{e}$ [/mm]
somit ist [mm] $(a_n)=(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] keine Nullfolge und das Trivialkriterium für Reihenkonvergenz nicht erfüllt.

Die Abschätzung ist zwar für die Aufgabe ausreichend - ich denke aber das du das nicht so meintest. Der Fehler scheint mir einfach zu groß da [mm] $(a_n)>0,9$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{e}\approx0,36$ [/mm] ist. Desweiteren scheint auch 'deine' Folge gegen 1 zu laufen für [mm] $n\to\infty$ [/mm] und daraus folgend wäre dann auch der GW von [mm] $(a_n)$ [/mm] gezeigt. Sollte ich hier richtig liegen?

> Gruß
>  Loddar

Gruß zurück Sashman

Edit:

Doch noch ein zweiter Ansatz:

Da [mm] $\frac{1}{2n^2}<1$ $\forall n\in\IN$ [/mm] gilt mit J.Bernoullis Ungleichung:

[mm] $\left(1-\frac{1}{2n^2}\right)^n\ge1-n*\frac{1}{2n^2}=1-\frac{1}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1$ [/mm]

hab haldoch taube Augen

Gruß S.


Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius+menge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:39 Mo 10.12.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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