Konvergenzradien von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | bestimme den Konvergenzradius von:
a) [mm] \summe_{}^{}\bruch{n!}{(2n)!}*z^n
[/mm]
b) [mm] \summe_{}^{}b^{\wurzel{n}}z^n [/mm] (b>0 fest)
c) [mm] \summe_{}^{}\vektor{2n \\ n}z^n
[/mm]
d) [mm] \summe_{}^{}a^n^{2} [/mm] |
Könnt ihr mir vielleicht erklären, wie man Konvergenzradien von Reihen berechnet? ich habe das nicht verstanden...finde dazu keine richtige definition sondern meist nur aufgezählte Konvergenzkriterien wie Quotientenkriterium und sowas... und muss ich was bestimmtes wegen dem z beachten?
Über Erklärungen (bitte idotensicher *g*) wäre ich dankbar.
Grüße,
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> bestimme den Konvergenzradius von:
>
> a) [mm]\summe_{}^{}\bruch{n!}{(2n)!}*z^n[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{}^{}b^{\wurzel{n}}z^n[/mm] (b>0 fest)
>
> c) [mm]\summe_{}^{}\vektor{2n \\ n}z^n[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{}^{}a^n^{2}[/mm]
> Könnt ihr mir vielleicht erklären, wie man
> Konvergenzradien von Reihen berechnet?
Das habt ihr nicht in der VL behandelt?
Keine Konvergenzkriterien aufgeschrieben?
> ich habe das nicht
> verstanden...finde dazu keine richtige definition sondern
> meist nur aufgezählte Konvergenzkriterien wie
> Quotientenkriterium und sowas... und muss ich was
> bestimmtes wegen dem z beachten?
Natürlich!
Auf wikipedia ist das doch gut erklärt, was verstehst du daran nicht?
Du musst schon konkreter sagen, was dir unklar ist.
Oder ist es dir zu mühsam zu berechnen?
Das wird dir hier keiner abnehmen ...
>
> Über Erklärungen (bitte idotensicher *g*) wäre ich
> dankbar.
Nun denn:
Du hast hier (bis auf d) (Tippfehler?!)) ausnahmslos Potenzreihen (um [mm] $z_0= [/mm] 0$), also [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(z-z_0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(z-0)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}z^n$ [/mm] vorliegen.
Deren Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] kann man für gewöhnlich auf zweierlei Arten berechnen:
1) Berechne [mm] $\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$, [/mm] falls dieser Quotient definiert ist. (in Anlehnung an das QK)
2) Kriterium von Cauchy-Hadamard: berechne [mm] $\rho=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] (in Anlehnung an das WK)
Wobei festgelegt ist: [mm] $\frac{1}{0}=:\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$
[/mm]
Damit ist der Konvergenzradius [mm] $\rho\in[0,\infty]$ [/mm] (soll heißen: [mm] $\infty$ [/mm] ist als Konvergenzradius zugelassen) und du hast Konvergenz für [mm] $|z-z_0|<\rh0$, [/mm] hier für [mm] $|z|<\rho$ [/mm] und Divergenz für [mm] $|z-z_0|>\rho$, [/mm] bzw. hier [mm] $|z|>\rho$
[/mm]
Wie gesagt ist d) keine Potenzreihe, da kannst du schlecht einen Konvergenzradius berechnen, oder ist etwa $a$ als Variable gemeint so wie z bei den anderen?
>
> Grüße,
> mathegirl
LG
schachuzipus
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das stimmt, bei d) habe ich einen Tippfehler gemacht. Es muss heißen:
[mm] \summe_{}^{}a^n^2z^n
[/mm]
Natürlich bin ich nicht zu faul das zu berechnen, das ist ja bei diesen Aufgaben gerade der Sinn! Nur wenn ich es nicht verstehe, dann ist es auch nicht möglich zu rechnen!
okay, dann versuche ich mal mit a)
hier kann ich den Konvergenzradius nach dem Quotientenkriterium berechnen.
Ich was das dieses Kriterium nicht immer angewendet werden darf. das cauchy Hadamard Kriterium funktioniert jedoch immer. (damit habe ich aber meine schwierigkeiten, weil ich die Berechnung von lim sup und lim inf nicht verstanden habe)
okay..
[mm] \summe_{}^{}\bruch{n!}{(2n)!}
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \bruch{(n+1)!}{(2(n+1))!}= \bruch{1*2*3*4*...*n+1}{2*4*6*8*...*2(n+1)}= [/mm] da beginnt bei mir ja schon das eigentliche Problem...das Rechnen mit Fakultät *schäm*
Dazu finde ich aber auch in Büchern nichts richtiges...
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> das stimmt, bei d) habe ich einen Tippfehler gemacht. Es
> muss heißen:
>
> [mm]\summe_{}^{}a^n^2z^n[/mm]
>
> Natürlich bin ich nicht zu faul das zu berechnen, das ist
> ja bei diesen Aufgaben gerade der Sinn! Nur wenn ich es
> nicht verstehe, dann ist es auch nicht möglich zu
> rechnen!
>
> okay, dann versuche ich mal mit a)
> hier kann ich den Konvergenzradius nach dem
> Quotientenkriterium berechnen.
> Ich was das dieses Kriterium nicht immer angewendet werden
> darf. das cauchy Hadamard Kriterium funktioniert jedoch
> immer. (damit habe ich aber meine schwierigkeiten, weil ich
> die Berechnung von lim sup und lim inf nicht verstanden
> habe)
>
> okay..
> [mm]\summe_{}^{}\bruch{n!}{(2n)!}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}= \bruch{(n+1)!}{(2(n+1))!}= \bruch{1*2*3*4*...*n+1}{2*4*6*8*...*2(n+1)}=[/mm]
> da beginnt bei mir ja schon das eigentliche Problem...das
> Rechnen mit Fakultät *schäm*
Berechne doch mal [mm] $\bruch{a_n}{a_{n+1}}$ [/mm]
Da kannst Du viel kürzen
FRED
>
> Dazu finde ich aber auch in Büchern nichts richtiges...
>
> mathegirl
>
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Ja, da bin ich grad dabei..und deshalb ich oben versucht [mm] a_{n+1} [/mm] berechnen wollen
[mm] \bruch{\bruch{n!}{(2n)!}*z^n}{\bruch{(n+1)!}{(2(n+1))!}*z^{n+1}}
[/mm]
Also wenn ich kürze komme ich auf [mm] \bruch{2}{2!}*z=z [/mm] ?????
LG
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja, da bin ich grad dabei..und deshalb ich oben versucht
> [mm]a_{n+1}[/mm] berechnen wollen
>
> [mm]\bruch{\bruch{n!}{(2n)!}*z^n}{\bruch{(n+1)!}{(2(n+1))!}*z^{n+1}}[/mm]
>
> Also wenn ich kürze komme ich auf [mm]\bruch{2}{2!}*z=z[/mm]
Ich meinte [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{n!}{(2n)!}$
[/mm]
Dann : [mm] $\bruch{a_n}{a_{n+1}}= [/mm] $ ..... kürzen ..... $= [mm] \bruch{(2n+1)(2n+2)}{n+1} \to [/mm] 4$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Edit: obiger Quotient strebt natürlich gegen [mm] \infty [/mm] und nicht gegen 4
FRED
> ?????
>
>
>
> LG
> mathegirl
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Mein Problem ist immer das mit der Fakultät auszuformulieren,so dass ich dann auf diese Ausdrücke komme...daran hängt es eigentlich immer bei der Konvergenzberechnung...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Mein Problem ist immer das mit der Fakultät
> auszuformulieren,so dass ich dann auf diese Ausdrücke
> komme...daran hängt es eigentlich immer bei der
> Konvergenzberechnung...
Was ist [mm] \bruch{n!}{(n+1)!} [/mm] und was [mm] \bruch{(2n)!}{((2(n+1))!} [/mm] ?
FRED
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Hallo Fred,
> > Ja, da bin ich grad dabei..und deshalb ich oben versucht
> > [mm]a_{n+1}[/mm] berechnen wollen
> >
> >
> [mm]\bruch{\bruch{n!}{(2n)!}*z^n}{\bruch{(n+1)!}{(2(n+1))!}*z^{n+1}}[/mm]
> >
> > Also wenn ich kürze komme ich auf [mm]\bruch{2}{2!}*z=z[/mm]
>
>
> Ich meinte [mm]a_n = \bruch{n!}{(2n)!}[/mm]
>
> Dann : [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}=[/mm] ..... kürzen ..... [mm]= \bruch{(2n+1)(2n+2)}{n+1} \to 4[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
Hmmm .... 
Der Quotient strebt doch gegen [mm] $\infty$
[/mm]
>
> FRED
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > > Ja, da bin ich grad dabei..und deshalb ich oben versucht
> > > [mm]a_{n+1}[/mm] berechnen wollen
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{\bruch{n!}{(2n)!}*z^n}{\bruch{(n+1)!}{(2(n+1))!}*z^{n+1}}[/mm]
> > >
> > > Also wenn ich kürze komme ich auf [mm]\bruch{2}{2!}*z=z[/mm]
> >
> >
> > Ich meinte [mm]a_n = \bruch{n!}{(2n)!}[/mm]
> >
> > Dann : [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}=[/mm] ..... kürzen ..... [mm]= \bruch{(2n+1)(2n+2)}{n+1} \to 4[/mm]
> für [mm]n \to \infty[/mm]
>
> Hmmm ....
>
> Der Quotient strebt doch gegen [mm]\infty[/mm]
Au Backe ! Da habe ich aber gewaltig daneben gegriffen ! Danke für die Korrektur
FRED
>
> >
> > FRED
> >
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Ich habe mal eine Frage.
Worin liegt eigentlich der Unterschied zwischen Konvergenz bestimmen und Konvergenzradius bestimmen??
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Kann mir das jemand nochmal aufzeigen mit den fakultäten umformen? Die Lösung alleine bringt mir ja nichts, ich muss es ja selbst auch können. Wäre echt nett!
Mathegirl
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> Kann mir das jemand nochmal aufzeigen mit den fakultäten
> umformen? Die Lösung alleine bringt mir ja nichts, ich
> muss es ja selbst auch können. Wäre echt nett!
>
> Mathegirl
ok, mal für obiges beispiel:
[mm] a_n=\frac{n!}{(2n)!}
[/mm]
[mm] \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n!}{(2n)!}*\frac{(2*(n+1))!}{(n+1)!}=\frac{n!}{(2n)!}*\frac{(2n+2)!}{(n+1)!}=\frac{n!}{(2n)!}*\frac{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)}{n!*(n+1)}
[/mm]
dann schön kürzen!
wenn du verstanden hast, dass (2n+2)! dasselbe ist wie (2n)!*(2n+1)*(2n+2) sind solche aufgaben kein problem mehr (anfangs hilfts auch, sich ein beispiel-n auszudenken, zb. 4 und zu schauen was mit den faktoren passiert )
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Mathegirl |
okay, danke. allerdings komme ich da nicht drauf...vielleicht dneke ich auch nur viel zu kompliziert???
Grüße
Mathegirl
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kannst du mir den schritt nochmal zeigen, wie man darauf kommt, dass (2n+n)= (2n)! (2n+1)*(2n+2) ist..ich habe das schon "ausformuliert" aber vermutlich denke ich nur zu kompliziert!
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> kannst du mir den schritt nochmal zeigen, wie man darauf
> kommt, dass (2n+n)= (2n)! (2n+1)*(2n+2) ist..ich habe das
> schon "ausformuliert" aber vermutlich denke ich nur zu
> kompliziert!
nehmen wir doch mal (2n+2)! und nehmen n=2:
$ (2*2+2)!= (2*2)! (2*2+1)*(2*2+2) $
$ [mm] \gdw [/mm] 6!=4!*5*6 $ was augenscheinlich ja richtig ist, denn
$ [mm] \gdw [/mm] 4!*5*6=1*2*3*4*5*6=6! $
du musst halt ein wenig mit den zahlen spielen, dann geht das wie von selbst.
wie zerleg ich denn (2n+4)! wenn ich 2n! kürzen möchte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
"Kovergenz bestimmen" bedeute, dass man untersucht, ob eine Reihe konvergiert oder nicht (also divergiert).
"Konvergenzradius bestimmen" gilt i.d.R. für Potenzreihen für welche Werte der Variable (sei es $x_$ oder $z_$) die Reihe konvergiert.
Gruß
Loddar
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