Konvergenzradien / Wurzelkrit. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 So 24.04.2005 | | Autor: | gIlioner |
Hi!
Ich habe eine Frage zu folgenden zwei Aufgaben, bei denen ich den Konvergenzradius bestimmen muss:
1. [mm] \summe_{n=0}^{\infty}((-3)^n+4)^{2n}z^n
[/mm]
Ich denke, das ist ein Fall fürs Wurzelkriterium also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|((-3)^n+4)|^{2n}\cdot |z^n|}
[/mm]
Mein Problem ist, dass [mm] (-3)^n [/mm] stark wächst und ich deswegen nicht so einfach den Grenzwert bestimmen kann.
Ein ähnliches Problem hab ich bei der 2. Aufgabe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} ((-1)^n+3)^n\cdot n\cdot z^n
[/mm]
Da stört mich der einzelne Faktor n.
Wie behandel ich solche Faktoren?
Dankeschön!
Einen schönen Sonntag noch. :)
Sebastian
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 24.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Sebastian,
erstmal gilt ja für den Konvergenzradius, dass für [mm] $L=\limsup \sqrt[n]{|a_n|}$ [/mm] und [mm] $q=\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] gilt, dass der Konvergenzradius sich über [mm] $R=\frac{1}{L}$ [/mm] bzw. [mm] $R=\frac{1}{q}$ [/mm] errechnet [mm] ($\frac{1}{0}=:\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=:0$).
[/mm]
Damit hast du schon einmal das [mm] $z^n$ [/mm] aus den Fromeln raus. Du musst dann wirklich nur noch [mm] $\lim$ [/mm] bzw. [mm] $\limsup$ [/mm] bestimmen. Der Faktor $n$ ist kein Problem, da [mm] $\sqrt[n]{n}\to [/mm] 1$ für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 24.04.2005 | | Autor: | gIlioner |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich glaub, das hat mir schon sehr geholfen.
Erstmal zur 2. Frage von mir:
Ich bin gekommen auf
[mm] L=\limsup \sqrt[n]{|((-1)^n+3)^n\cdot n\cdot z^n|}
[/mm]
[mm] =\limsup |(-1)^n+3|\cdot 1\cdot|z|
[/mm]
[mm] =3\cdot|z|
[/mm]
Also wäre der Konvergenzradius [mm] \frac{1}{3} [/mm] ?
Bei der ersten Frage bin ich noch auf keine Lösung gekommen. :(
[mm] L=\limsup \sqrt[n]{|((-3)^n+4)^{2n}z^n|}
[/mm]
[mm] =\limsup |((-3)^n+4)^2|\cdot|z|
[/mm]
Ich interpretiere das jetzt so, dass der Konvergenzradius dann 0 ist, da der [mm] \limsup [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht?
Würde mich sehr freuen, wenn du (oder natürlich jemand anderes auch) mir noch weiterhilfst..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 24.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Sebastian,
das $z$ hat nix in den beiden Gleichungen für $L$ zu suchen. Mit [mm] $a_n$ [/mm] werden nur die Koeffizienten deiner Potenzreihe bezeichnet. Daher erhälst du [mm] $L=\left|(-1)^n+3\right|\cdot [/mm] 1$, jetzt überleg mal, was der größte Wert ist, den der Ausdruck [mm] $\left|(-1)^n+3\right|$ [/mm] annehmen kann, es ist nicht $3$ 
Bei der ersten hast du ja [mm] $L=\left|(-3)^n+4\right|^2 \to \infty$, [/mm] da [mm] $3^n\to \infty$. [/mm] Also $R=0$.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 So 24.04.2005 | | Autor: | gIlioner |
Natürlich 4, also [mm] R=\frac{1}{4}.
[/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe!!! Und noch einen wunderschönen Sonntag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 So 24.04.2005 | | Autor: | Max |
np, gerne geschehen und dito
Max
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