Konvergenzradien Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n*2^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}x^n
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(1+(-2)^n)x^n
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{(n^n)}}{n^n} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe Schwierigkeiten bei der Aufgabe. Teil a) konnte ich lösen.
Bei b) habe ich versucht zu zeigen, dass [mm] \bruch{b_{n+1}}{b_n} [/mm] ,wobei [mm] b_n [/mm] := [mm] \bruch{n!}{n^n}, [/mm] gegen L konvergiert, aber irgendwie bekomme ich das nicht hin. Daraus könnte ich dann nämlich folgern, dass [mm] \wurzel[n]{b_n} [/mm] auch gegen L konvergiert, und könnte damit den Konvergenzradius berechnen.
Zu c) habe ich keinen Ansatz.
Mit d) kann ich auch nichts anfangen, weil mich dieses [mm] x^{(n^n)} [/mm] irritiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Do 20.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreihen:
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n*2^n}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}x^n[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(1+(-2)^n)x^n[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{(n^n)}}{n^n}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe Schwierigkeiten bei der Aufgabe. Teil a) konnte
> ich lösen.
>
> Bei b) habe ich versucht zu zeigen, dass
> [mm]\bruch{b_{n+1}}{b_n}[/mm] ,wobei [mm]b_n[/mm] := [mm]\bruch{n!}{n^n},[/mm] gegen L
> konvergiert,
Was ist L ?
> aber irgendwie bekomme ich das nicht hin.
Durch einfaches Nachrechnen (ausgiebig kürzen !):
[mm] \bruch{b_n}{b_{n+1}}= (1+1/n)^n
[/mm]
> Daraus könnte ich dann nämlich folgern, dass
> [mm]\wurzel[n]{b_n}[/mm] auch gegen L konvergiert, und könnte damit
> den Konvergenzradius berechnen.
>
> Zu c) habe ich keinen Ansatz.
Es ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(1+(-2)^n)x^n= \summe_{n=1}^{\infty}a_nx^n [/mm] mit
[mm] a_n=1+2^n, [/mm] falls n gerade und [mm] a_n =1-2^n, [/mm] falls n ungerade
Dann ist [mm] |a_n|=1+2^n, [/mm] falls n gerade und [mm] |a_n|=2^n-1, [/mm] falls n ungerade
So, damit berechne nun lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
>
> Mit d) kann ich auch nichts anfangen, weil mich dieses
> [mm]x^{(n^n)}[/mm] irritiert.
1. Für |x| [mm] \le [/mm] 1 ist [mm] \bruch{|x|^{(n^n)}}{n^n} \le \bruch{1}{n^n}
[/mm]
Was folgt also über die Konvergenz der Potenzreihe für |x| [mm] \le [/mm] 1 ?
2. Sei |x|>1. Dann ex. ein s>0: |x|=1+s.
Es folgt: [mm] $|x|^{n^n} \ge 1+n^n*s$ [/mm] (warum ? )
Damit haben wir:
[mm] \bruch{|x|^{n^n}}{n^n} \ge \bruch{1}{n^n}+s.
[/mm]
Warum ist nun die Potenzreihe für |x|>1 divergent ?
Wir haben also Konvergenz für |x| [mm] \le [/mm] 1 und Divergenz für |x|>1
Wie groß ist nun der Konvergenzradius ?
FRED
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b)
> Durch einfaches Nachrechnen (ausgiebig kürzen !):
>
> [mm]\bruch{b_n}{b_{n+1}}= (1+1/n)^n[/mm]
Bei b) komme ich immer noch nicht weiter.
Habe bisher nur folgendes:
[mm] b_n [/mm] := [mm] \bruch{n!}{n^n}
[/mm]
[mm] \bruch{b_{n+1}}{b_n} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!*n^n}{(n+1)^{n+1}*n!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^n}{(n+1)^n} [/mm] = [mm] (\bruch{n}{n+1})^n [/mm] = [mm] (1-\bruch{1}{n+1})^n
[/mm]
c)
> Es ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(1+(-2)^n)x^n= \summe_{n=1}^{\infty}a_nx^n[/mm]
> mit
>
> [mm]a_n=1+2^n,[/mm] falls n gerade und [mm]a_n =1-2^n,[/mm] falls n ungerade
>
> Dann ist [mm]|a_n|=1+2^n,[/mm] falls n gerade und [mm]|a_n|=2^n-1,[/mm] falls
> n ungerade
>
> So, damit berechne nun lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
Beweis:
[mm] c_n [/mm] := 1 + [mm] (-2)^n
[/mm]
Es folgt:
[mm] c_n [/mm] = 1 + [mm] 2^n [/mm] > 0 , falls n gerade
[mm] c_n [/mm] = 1 - [mm] 2^n [/mm] < 0 , falls n ungerade
[mm] \Rightarrow |c_n| [/mm] = 1 + [mm] 2^n [/mm] , falls n gerade
[mm] |c_n| [/mm] = -(1 - [mm] 2^n) [/mm] = [mm] 2^n [/mm] - 1 , falls n ungerade
Berechne lim sup [mm] \wurzel[n]{|c_n|}
[/mm]
Sei n gerade.
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 = [mm] \wurzel[n]{2^n} \le \wurzel[n]{|c_n|} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{1 + 2^n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2^n*(\bruch{1}{2^n} + 1)} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2^n} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{2^n} + 1} \le [/mm] 2 * [mm] \wurzel[n]{1 + 1} [/mm] = 2 * [mm] \wurzel[n]{2} \to [/mm] 2
[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{|c_n|} \to [/mm] 2 für alle geraden n
Sei n ungerade.
[mm] \Rightarrow \underbrace{2*\wurzel[n]{\bruch{1}{2}}}_{\to 2} [/mm] = 2 * [mm] \wurzel[n]{1 - \bruch{1}{2}} \le \wurzel[n]{2^n}\wurzel[n]{1 - \bruch{1}{2^n}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2^n(1 - \bruch{1}{2^n})} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{|c_n|} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2^n - 1} \le \wurzel[n]{2^n} [/mm] = 2
[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{|c_n|} \to [/mm] 2 für alle ungeraden n
Da dies sowohl für gerade als auch ungerade n gilt, folgt: [mm] \wurzel[n]{|c_n|} \to [/mm] 2
[mm] \Rightarrow [/mm] lim sup [mm] \wurzel[n]{|c_n|} [/mm] = lim [mm] \wurzel[n]{|c_n|} [/mm] = 2
[mm] \Rightarrow P_3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Konvergenzradius
[mm] \Box
[/mm]
d)
> 1. Für |x| [mm]\le[/mm] 1 ist [mm]\bruch{|x|^{(n^n)}}{n^n} \le \bruch{1}{n^n}[/mm]
>
> Was folgt also über die Konvergenz der Potenzreihe für
> |x| [mm]\le[/mm] 1 ?
>
> 2. Sei |x|>1. Dann ex. ein s>0: |x|=1+s.
>
> Es folgt: [mm]|x|^{n^n} \ge 1+n^n*s[/mm] (warum ? )
>
> Damit haben wir:
>
> [mm]\bruch{|x|^{n^n}}{n^n} \ge \bruch{1}{n^n}+s.[/mm]
>
> Warum ist nun die Potenzreihe für |x|>1 divergent ?
>
> Wir haben also Konvergenz für |x| [mm]\le[/mm] 1 und Divergenz für
> |x|>1
>
> Wie groß ist nun der Konvergenzradius ?
Beweis:
[mm] d_n [/mm] := [mm] \bruch{x^{(n^n)}}{n^n}
[/mm]
Es gilt: [mm] |d_n| [/mm] = [mm] |\bruch{x^{(n^n)}}{n^n}| [/mm] = [mm] \bruch{|x|^{(n^n)}}{n^n} \le \bruch{1}{n^n} \le \bruch{1}{n^2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] falls |x| [mm] \le [/mm] 1
Mit dem Vergleichskriterium und der verallgemeinerten harmonischen Reihe folgt: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|d_n| [/mm] konvergiert
[mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}d_n [/mm] konvergiert absolut für |x| [mm] \le [/mm] 1
Sei nun |x| > 1.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] s > 0: |x| = 1 + s
[mm] \Rightarrow [/mm] (Bernoulli Ungleichung) [mm] |x|^{(n^n)} [/mm] = [mm] (1+s)^{(n^n)} \ge [/mm] 1 + [mm] n^n [/mm] * s
[mm] \Rightarrow |d_n| [/mm] = [mm] \bruch{|x|^{(n^n)}}{n^n} \ge \bruch{1}{n^n} [/mm] + s [mm] \to [/mm] 0 + s = s > 0
[mm] \Rightarrow (\bruch{1}{n^n} [/mm] + s) keine Nullfolge
[mm] \Rightarrow (|d_n|) [/mm] keine Nullfolge
[mm] \Rightarrow (d_n) [/mm] keine Nullfolge
[mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}d_n [/mm] konvergiert nicht für |x| > 1
Zusammenfassend gilt also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}d_n [/mm] konvergiert absolut für |x| [mm] \le [/mm] 1
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}d_n [/mm] konvergiert nicht für |x| > 1
[mm] \Rightarrow P_4 [/mm] = 1 Konvergenzradius
[mm] \Box
[/mm]
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Hallo Blackburn,
> b)
>
> > Durch einfaches Nachrechnen (ausgiebig kürzen !):
> >
> > [mm]\bruch{b_n}{b_{n+1}}= (1+1/n)^n[/mm]
>
> Bei b) komme ich immer noch nicht weiter.
> Habe bisher nur folgendes:
>
> [mm]b_n[/mm] := [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm]
>
> [mm]\bruch{b_{n+1}}{b_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)!*n^n}{(n+1)^{n+1}*n!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}}[/mm] = [mm]\bruch{n^n}{(n+1)^n}[/mm] =
> [mm](\bruch{n}{n+1})^n[/mm] = [mm](1-\bruch{1}{n+1})^n[/mm]
Das sollte Dir bekannt vorkommen...
[mm] \cdots=\bruch{n+1}{n}*\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}
[/mm]
Neulich lief das noch gegen [mm] e^{-1}, [/mm] als n immer größer wurde...
> c)
>
> > Es ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(1+(-2)^n)x^n= \summe_{n=1}^{\infty}a_nx^n[/mm]
> > mit
> >
> > [mm]a_n=1+2^n,[/mm] falls n gerade und [mm]a_n =1-2^n,[/mm] falls n ungerade
> >
> > Dann ist [mm]|a_n|=1+2^n,[/mm] falls n gerade und [mm]|a_n|=2^n-1,[/mm] falls
> > n ungerade
> >
> > So, damit berechne nun lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
>
> Beweis:
>
> [mm]c_n[/mm] := 1 + [mm](-2)^n[/mm]
>
> Es folgt:
>
> [mm]c_n[/mm] = 1 + [mm]2^n[/mm] > 0 , falls n gerade
> [mm]c_n[/mm] = 1 - [mm]2^n[/mm] < 0 , falls n ungerade
>
> [mm]\Rightarrow |c_n|[/mm] = 1 + [mm]2^n[/mm] , falls n gerade
> [mm]|c_n|[/mm] = -(1 - [mm]2^n)[/mm] = [mm]2^n[/mm] - 1 , falls n ungerade
>
> Berechne lim sup [mm]\wurzel[n]{|c_n|}[/mm]
>
> Sei n gerade.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2 = [mm]\wurzel[n]{2^n} \le \wurzel[n]{|c_n|}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{1 + 2^n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{2^n*(\bruch{1}{2^n} + 1)}[/mm]
> = [mm]\wurzel[n]{2^n}[/mm] * [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{2^n} + 1} \le[/mm] 2 *
> [mm]\wurzel[n]{1 + 1}[/mm] = 2 * [mm]\wurzel[n]{2} \to[/mm] 2
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{|c_n|} \to[/mm] 2 für alle geraden n
>
> Sei n ungerade.
>
> [mm]\Rightarrow \underbrace{2*\wurzel[n]{\bruch{1}{2}}}_{\to 2}[/mm]
> = 2 * [mm]\wurzel[n]{1 - \bruch{1}{2}} \le \wurzel[n]{2^n}\wurzel[n]{1 - \bruch{1}{2^n}}[/mm]
> = [mm]\wurzel[n]{2^n(1 - \bruch{1}{2^n})}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{|c_n|}[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{2^n - 1} \le \wurzel[n]{2^n}[/mm] = 2
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{|c_n|} \to[/mm] 2 für alle ungeraden n
>
> Da dies sowohl für gerade als auch ungerade n gilt, folgt:
> [mm]\wurzel[n]{|c_n|} \to[/mm] 2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] lim sup [mm]\wurzel[n]{|c_n|}[/mm] = lim [mm]\wurzel[n]{|c_n|}[/mm] = 2
>
> [mm]\Rightarrow P_3[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] Konvergenzradius
Wunderbar.
> d)
> > 1. Für |x| [mm]\le[/mm] 1 ist [mm]\bruch{|x|^{(n^n)}}{n^n} \le \bruch{1}{n^n}[/mm]
>
> >
> > Was folgt also über die Konvergenz der Potenzreihe für
> > |x| [mm]\le[/mm] 1 ?
> >
> > 2. Sei |x|>1. Dann ex. ein s>0: |x|=1+s.
> >
> > Es folgt: [mm]|x|^{n^n} \ge 1+n^n*s[/mm] (warum ? )
> >
> > Damit haben wir:
> >
> > [mm]\bruch{|x|^{n^n}}{n^n} \ge \bruch{1}{n^n}+s.[/mm]
> >
> > Warum ist nun die Potenzreihe für |x|>1 divergent ?
> >
> > Wir haben also Konvergenz für |x| [mm]\le[/mm] 1 und Divergenz für
> > |x|>1
> >
> > Wie groß ist nun der Konvergenzradius ?
>
> Beweis:
>
> [mm]d_n[/mm] := [mm]\bruch{x^{(n^n)}}{n^n}[/mm]
>
> Es gilt: [mm]|d_n|[/mm] = [mm]|\bruch{x^{(n^n)}}{n^n}|[/mm] =
> [mm]\bruch{|x|^{(n^n)}}{n^n} \le \bruch{1}{n^n} \le \bruch{1}{n^2}[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN,[/mm] falls |x| [mm]\le[/mm] 1
>
> Mit dem Vergleichskriterium und der verallgemeinerten
> harmonischen Reihe folgt: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|d_n|[/mm]
> konvergiert
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}d_n[/mm] konvergiert absolut
> für |x| [mm]\le[/mm] 1
>
> Sei nun |x| > 1.
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] s > 0: |x| = 1 + s
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (Bernoulli Ungleichung) [mm]|x|^{(n^n)}[/mm] =
> [mm](1+s)^{(n^n)} \ge[/mm] 1 + [mm]n^n[/mm] * s
Das hast Du richtig identifiziert. Dabei hatte Fred doch gar nicht verraten, woher er das genommen hat. 
> [mm]\Rightarrow |d_n|[/mm] = [mm]\bruch{|x|^{(n^n)}}{n^n} \ge \bruch{1}{n^n}[/mm]
> + s [mm]\to[/mm] 0 + s = s > 0
>
> [mm]\Rightarrow (\bruch{1}{n^n}[/mm] + s) keine Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow (|d_n|)[/mm] keine Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow (d_n)[/mm] keine Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}d_n[/mm] konvergiert nicht für
> |x| > 1
>
> Zusammenfassend gilt also:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}d_n[/mm] konvergiert absolut für |x| [mm]\le[/mm]
> 1
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}d_n[/mm] konvergiert nicht für |x| > 1
>
> [mm]\Rightarrow P_4[/mm] = 1 Konvergenzradius
Auch richtig.
Gibt es jetzt noch ein Problem mit b) ?
Grüße
reverend
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> Hallo Blackburn,
>
> > b)
> >
> > > Durch einfaches Nachrechnen (ausgiebig kürzen !):
> > >
> > > [mm]\bruch{b_n}{b_{n+1}}= (1+1/n)^n[/mm]
> >
> > Bei b) komme ich immer noch nicht weiter.
> > Habe bisher nur folgendes:
> >
> > [mm]b_n[/mm] := [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{b_{n+1}}{b_n}[/mm] =
> > [mm]\bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{(n+1)!*n^n}{(n+1)^{n+1}*n!}[/mm] =
> > [mm]\bruch{(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}}[/mm] = [mm]\bruch{n^n}{(n+1)^n}[/mm] =
> > [mm](\bruch{n}{n+1})^n[/mm] = [mm](1-\bruch{1}{n+1})^n[/mm]
>
> Das sollte Dir bekannt vorkommen...
>
> [mm]\cdots=\bruch{n+1}{n}*\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}[/mm]
>
> Neulich lief das noch gegen [mm]e^{-1},[/mm] als n immer größer
> wurde...
Ich glaube, du musst mich mit jemanden verwechseln.
Durch eingeben in Taschenrechner sehe ich, dass es gegen [mm] e^{-1} [/mm] läuft, aber wie ich das zeigen soll, keine Ahnung...Die Exponentialfunktion hatten wir in der Vorlesung auch nur kurz angesprochen, mehr nicht.
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Hallo nochmal,
gibt es ein Skript? Dann solltest Du die Herleitung des Grenzwerts von [mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] nochmal genau nachschauen, wie auch die Exponentialfunktion.
Das, was Ihr gehabt habt, muss reichen, um diese Aufgabe zu lösen, denn sonst ist sie einfach nicht lösbar.
> > > b)
> > >
> > > > Durch einfaches Nachrechnen (ausgiebig kürzen !):
> > > >
> > > > [mm]\bruch{b_n}{b_{n+1}}= (1+1/n)^n[/mm]
> > >
> > > Bei b) komme ich immer noch nicht weiter.
> > > Habe bisher nur folgendes:
> > >
> > > [mm]b_n[/mm] := [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm]
> > >
> > > [mm]\bruch{b_{n+1}}{b_n}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{(n+1)!*n^n}{(n+1)^{n+1}*n!}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}}[/mm] = [mm]\bruch{n^n}{(n+1)^n}[/mm] =
> > > [mm](\bruch{n}{n+1})^n[/mm] = [mm](1-\bruch{1}{n+1})^n[/mm]
> >
> > Das sollte Dir bekannt vorkommen...
> >
> >
> [mm]\cdots=\bruch{n+1}{n}*\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}[/mm]
> >
> > Neulich lief das noch gegen [mm]e^{-1},[/mm] als n immer größer
> > wurde...
>
> Ich glaube, du musst mich mit jemanden verwechseln.
Nö. Das läuft für jeden gegen [mm] e^{-1}, [/mm] ohne jedes Ansehen der Person.
> Durch eingeben in Taschenrechner sehe ich, dass es gegen
> [mm]e^{-1}[/mm] läuft, aber wie ich das zeigen soll, keine
> Ahnung...Die Exponentialfunktion hatten wir in der
> Vorlesung auch nur kurz angesprochen, mehr nicht.
Tja, siehe oben.
Grüße
reverend
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Ich bin jetzt nochmal das Skript durchgegangen, und habe nur folgendes gefunden:
,,Die Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!} [/mm] hat Konvergenzradius [mm] +\infty: [/mm] Das folgt aus [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n!}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n!}} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Deshalb ist die Summe dieser Potenzreihe für beliebiges z [mm] \in \IC [/mm] definiert. Diese Summe ist die Exponentialfunktion [mm] e^z, [/mm] die wir später untersuchen werden."
Auch auf den Präsenzblättern ist nichts...
Also kann ich die Aufgabe nicht lösen, oder wie?
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Hallo Blackburn,
> Ich bin jetzt nochmal das Skript durchgegangen, und habe
> nur folgendes gefunden:
>
> ,,Die Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!}[/mm] hat
> Konvergenzradius [mm]+\infty:[/mm] Das folgt aus
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{n!}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{n!}} \to[/mm] 0
> für n [mm]\to \infty.[/mm]
> Deshalb ist die Summe dieser
> Potenzreihe für beliebiges z [mm]\in \IC[/mm] definiert. Diese
> Summe ist die Exponentialfunktion [mm]e^z,[/mm] die wir später
> untersuchen werden."
>
> Auch auf den Präsenzblättern ist nichts...
> Also kann ich die Aufgabe nicht lösen, oder wie?
Schau noch mal bei den Folgen nach.
Eigentlich wird in jeder Ana I-VL die eulersche Zahl [mm]e[/mm] eingeführt bzw. definiert als [mm]e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
Und das lässt sich für alle [mm]z\in\IC[/mm] verallgemeinertn zu [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=e^z[/mm]
Also insbesondere für [mm]z=-1[/mm]: [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1}=\frac{1}{e}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ok, aber wir hatten das wirklich nicht. Ich habe auch mehrere Komillitonen gefragt, und die sagen dasselbe wie ich. Ich setze das jetzt einfach voraus, und dann ist die Sache für mich erledigt.
Danke für eure Hilfe, schöne Weihnachten und einen guten Rutsch!
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