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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mi 10.08.2011 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Bitte berechnen Sie den Konvergenzradius:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}(2x)^{n} [/mm] |
Guten Abend,
Ich bin an dieser (und anderen) Aufgaben zum Konvergenzradius. Erstmal eine allgemeine Frage:
Habe ich es richtig verstanden, dass man entweder mit
r= [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{a_{n})}}
[/mm]
berechnen kann (geht immer)
oder mit
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{a_{n}}{a_{n+1}})
[/mm]
jedoch nur, falls ab einem bestimmten Index [mm] a_{n} [/mm] alle verschieden von 0 sind?
Sind das alle Möglichkeiten, oder gibt es noch andere? Woran erkennt man, welche man benutzen muss?
Jetzt zu meiner Aufgabe:
Bis jetzt habe ich folgendes:
- Umformen: [mm] \summe_{i=1}^{n}1/n(2x)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}2^{n}x^{n} [/mm] und somit ist [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}2^{n}
[/mm]
Ich setze dann ein in
r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{a_{n}}{a_{n+1}})
[/mm]
und erhalte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{n}\bruch{n+1}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2n}
[/mm]
Das hilft mir leider nicht weiter, weil soweit ich weiss ist der Limes von unendlich über unendlich nicht definiert...
Ist das sonst soweit richtig?
Vielen Dank für Hilfe!
Liebe Grüsse,
Natascha
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> Bitte berechnen Sie den Konvergenzradius:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}(2x)^{n}[/mm]
"Bitte" in der Aufgabenstellung...
Ich beginne an gewissen Grundfesten der Welt zu zweifeln. xD
> Guten Abend,
>
> Ich bin an dieser (und anderen) Aufgaben zum
> Konvergenzradius. Erstmal eine allgemeine Frage:
> Habe ich es richtig verstanden, dass man entweder mit
> r= [mm]\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[\red{n}]{a_{n})}}[/mm]
> berechnen kann (geht immer)
da fehlte ein n
> oder mit
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{a_{n}}{a_{n+1}})[/mm]
>
> jedoch nur, falls ab einem bestimmten Index [mm]a_{n}[/mm] alle
> verschieden von 0 sind?
> Sind das alle Möglichkeiten, oder gibt es noch andere?
Ich kenn keine anderen und bei Wiki stehen auch keine.
Heißt also es mag andere geben, aber die mit Abstand wichtigsten sind diese beiden.
> Woran erkennt man, welche man benutzen muss?
Die Aufgabe hast du dir schon selbst beantwortet, siehe unten.^^
> Jetzt zu meiner Aufgabe:
> Bis jetzt habe ich folgendes:
> - Umformen: [mm]\summe_{i=1}^{n}1/n(2x)^{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}2^{n}x^{n}[/mm] und somit ist [mm]a_{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n}2^{n}[/mm]
> Ich setze dann ein in
> r = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{a_{n}}{a_{n+1}})[/mm]
>
> und erhalte:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{n}\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2n}[/mm]
> Das hilft
> mir leider nicht weiter, weil soweit ich weiss ist der
> Limes von unendlich über unendlich nicht definiert...
> Ist das sonst soweit richtig?
Passt so weit, ist aber noch nicht fertig:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{2n} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Und schwupp hast du wieder einen schönen Limes. ;)
Und zu obiger Frage, wann man welches Verfahren benutzen sollte:
Wenn du beim Quotientenkriterium nichts gescheites rauskriegst ist es immer eine gute Idee mal das Wurzelkriterium zu probieren.^^
Davon abgesehen taugt das Quotientenkriterium eher für Brüche (zB [mm] $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n!}$,...), [/mm] das Wurzelkriterium (da n-te Wurzel, siehe oben) eher für Potenzen (zB [mm] $2^n$).
[/mm]
Welches du wählst ist dir überlassen, oftmals ist das Quotientenkriterium etwas leichter zu rechnen, aber es mag halt passieren, dass du nix brauchbares rauskriegst.
Also: Bei Brüchen Quotientenkriterum, bei Potenzen Wurzelkriterium, bei komplexeren Sachen nimm wie du lustig bist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mi 10.08.2011 | | Autor: | natascha |
Super, vielen Dank für deine Antwort!
Liebe Grüsse,
Natascha
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