Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Di 21.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen ;)
Ich grübel gerade etwas an Konvergenzradien. Und zwar habe ich drei Potenzreihen.
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{c \\ n} z^{n} [/mm] für c [mm] \in \IC [/mm]
b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(4+(-1)^{n})^{3n}}z^{n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}z^{2n+1}
[/mm]
Ich habe mir folgendes gedacht.
bei der a) wende ich die Euler Formel an:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{c \\ n} z^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{c!}{n!*(c-n)!}}{\bruch{c!}{(n+1)!*(c-n+1)!}}*z^{n} [/mm]
da weiß ich aber nicht, wie ich das weiter umformen kann. Meine mathematische Vermutung sagt mit, dass man das in irgendwas ohne Bruch umformen kann, und man nen Radius herausbekommt. Aber ich weiß nicht wie.
bei der b) wollte ich die Hadamard Formel benutzen. Weil dann würde ja das hoch n wegfallen. Aber ich bin mir nicht so sicher, wie ich die jetzt anwende. Es heißt ja H := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}. [/mm]
kürzt sich dann das hoch n weg und ich habe?
[mm] \bruch{1}{4+(-1)^{n})^{3n}}? [/mm] Dann wäre ja der Grenzwert bei [mm] +\infty
[/mm]
bei der c) habe ich noch keinen Ansatz. Ich vermute aber, dass es mit der Hadamard Formel geht. Aber wie wird dann der Bruch aufgelöst? Oder kürzt sich nur wieder das n aus 2n+1 heraus?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Schönen Abend wünscht
Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Becks,
zu Aufgabe b.)
Wie du richtig erkannt hast, verwendet man hier die Formel von Cauchy-Hadamard bzw. das Wurzelkriterium!
[mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{{\left( {4 + \left( { - 1} \right)^n } \right)^{3n} }}
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{{\left| {a_n } \right|}} [/mm] = [mm] \frac{1}{{\left( {4 + \left( { - 1} \right)^n } \right)^{\frac{{3n}}{n}} }} [/mm] = [mm] \frac{1}{{\left( {4 + \left( { - 1} \right)^n } \right)^3 }}
[/mm]
=> [mm] \sqrt[n]{{\left| {a_n } \right|}} [/mm] hat für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] die Werte [mm] \bruch{1}{27} [/mm] und [mm] \bruch{1}{125}
[/mm]
Warum nimmt [mm] \sqrt[n]{{\left| {a_n } \right|}} [/mm] zwei verschiedene Werte an?
Weil [mm] (-1)^{n}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Somit ist der Limes superior ( der größte Häufungswert ) [mm] \bruch{1}{27} [/mm]
Damit ist der Konvergenzradius r=27!
Alles klar?
Viele Grüße
Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Becks |
ok, das kann ich nachvollziehen. :) Aber kann es sein, dass du das [mm] z^{n} [/mm] weggelassen hast? Oder muss man das einfach nicht betrachten?
Und hat einer von euch eine Idee, wie ich mit n! umgehe? Weil da hänge ich noch und weiß nicht, wie ich das umformen kann.
Mfg Becks
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Hallo Becks!
> Aber kann es sein, dass du das [mm]z^{n}[/mm] weggelassen hast?
> Oder muss man das einfach nicht betrachten?
Bei Potenzreihen [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\red{a_n}*z^n$ [/mm] braucht man bei der Ermittlung des Konvergenzradius' lediglich die Koeffizientenfolge [mm] $\red{a_n}$ [/mm] betrachten.
Also hat Fabian das [mm] $z^n$ [/mm] nicht vergessen!
> Und hat einer von euch eine Idee, wie ich mit n! umgehe?
> Weil da hänge ich noch und weiß nicht, wie ich das umformen
> kann.
Hilft Dir folgender Tipp weiter? $(n+1)! \ = \ n!*(n+1)$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Becks |
Danke, dass habe ich noch nicht gewusst. ;)
Habe mich auch gleich an der a) und der c) probiert.
Habe bei der c)
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^{\bruch{n}{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n} [/mm] = (n-1)!
und r = [mm] \bruch{1}{(n-1)!}
[/mm]
Aber das kann ja irgendwie nicht sein. Aber ich weiß auch nicht, wo der Fehler ist.
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{c!}{n!(n-c)!}
[/mm]
Jetzt wende ich die Euler Form an mit r= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|
[/mm]
das bedeutet:
[mm] \bruch{\bruch{c!}{n!(n-c)!}}{\bruch{c!}{(n+1)!(n+1-c)!}} [/mm] = [mm] \bruch{c!}{n!(n-c)!}*\bruch{(n+1)!*(n+1-c)!}{c!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!*(n+1-c)!}{n!*(n-c)!}
[/mm]
Hmm, wie mache ich ab hier weiter? Die Fakultät muss ich ja irgendwie ganz wegkriegen oder?
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Hi!
$ [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n!}{n^{\bruch{n}{n}}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{n!}{n} [/mm] $ = (n-1)!
Wenn du die n. Wurzel ziehst, darfst du sie nicht einfach nur unter den Bruchstrich ziehen, musst also im Zähler auch die n. Wurzel ziehen!
$ [mm] \bruch{\bruch{c!}{n!(n-c)!}}{\bruch{c!}{(n+1)!(n+1-c)!}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{c!}{n!(n-c)!}\cdot{}\bruch{(n+1)!\cdot{}(n+1-c)!}{c!} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(n+1)!\cdot{}(n+1-c)!}{n!\cdot{}(n-c)!} [/mm] $
Hier solltest du nochmal den Tipp von Roadrunner beherzigen!
Vllt noch ein kleiner Tipp von mir. Betrachte
[mm] \bruch{(n+1)!}{n!} [/mm] und [mm] \bruch{(n+1-c)!}{(n-c)!}
[/mm]
getrennt, dann fällt dir die Lösung vllt schneller ins Auge!
Gruß
Tran
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:35 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Becks |
Danke für den Tipp! Ich glaube jetzt habe ich es ;)
bei der a) habe ich ja am Ende:
[mm] \bruch{(n+1)!\cdot{}(n+1-c)!}{n!\cdot{}(n-c)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!*(n+1)}{n!}*\bruch{(n-c)!*(n+1-c)}{(n-c)!} [/mm] = (n+1)*(n+1-c)
Also ist der Radius [mm] +\infty
[/mm]
bei der c)
Was ist denn das Ergebnis, wenn ich die n-te Wurzel aus n! ziehe? Da weiß ich nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Sa 25.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Becks!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mi 22.06.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo!
zwei Vorschläge zu c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}z^{2n+1} [/mm] hab ich noch.
allg.:
Die Konvergenzradienformeln sind immer für Potenzreihen der Form
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}
[/mm]
erklärt, die Reihe in c) ist aber nicht (direkt) in dieser Form gegeben.
1) Substitution
Ersetze z durch meinetwegen [mm] x^{2} [/mm] und benutz dann die üblichen Formeln zur Konvergenzradiusberechnung (Rücksubstitution nich vergessen wenn nötig!)
Bemerkungen:
1) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}z^{2n+1} [/mm] geht dabei über in [mm] z*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}}x^{n}
[/mm]
2) der Konvergenzradius r in x entspricht dem gesuchten Konvergenzradius [mm] R=\wurzel[1]{r} [/mm] in z!
2) Differenzieren
Der Konvergenzradius einer Potenzreihe bleibt beim Ableiten erhalten. Wenn Du die gegebene Reihe solange ableitest, bis Du bei [mm] z^{n} [/mm] angekommen bist und ein neues [mm] a_{n} [/mm] der Form
[mm] a_{n}(alt) [/mm] * den Faktoren, die bei der wiederholten Ableitung von [mm] z^{2n+1} [/mm] "nach vorne kommen"
also sowas wie
[mm] a_{n}(alt)*(2n+1)*(2n)*(2n-1)*...
[/mm]
erhältst, solltest Du mit dem neuem [mm] a_{n} [/mm] auf denselben Konvergenzradius wie in 1) kommen. Ich vertu mich dabei aber immer (kann sein soeben wieder, also mit vorsicht geniessen), ich würds daher mit der Substitution versuchen :)
Viel Erfolg damit
Grüsse
Martin
P.S.: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n!} [/mm] = [mm] \infty [/mm] soweit ich weiss
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