Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:57 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien von:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a+\bruch{1}{n})x^n [/mm] (a [mm] \in \IR)
[/mm]
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Hallo,
nach Anwendung des Wurzelkriteriums ergibt sich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_k|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(|a+\bruch{1}{n})x^n|}=|x|\limes_{n\rightarrow\infty}(a+\bruch{1}{n})^{1/n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } a>1 \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } a=1 \mbox{}\\ \infty, & \mbox{für} a<1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Für den Konvergenzradius ergibt sich demnach:
R=1/q
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a+\bruch{1}{n})x^n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } a<1 \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } a=1 \mbox{}\\ \infty, & \mbox{für} a>1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Habe ich die Aufgabe so korrekt gelöst? Oder ist irgendwo ein Fehler drin?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
> nach Anwendung des Wurzelkriteriums ergibt sich:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_k|}=\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{(|a+\bruch{1}{n})x^n|}=|x|\limes_{n\rightarrow\infty}(a+\bruch{1}{n})^{1/n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } a>1 \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } a=1 \mbox{}\\ \infty, & \mbox{für} a<1 \mbox{} \end{cases}[/mm]
Hier kann ich Dir nicht ganz folgen, wie Du auf die Fallunterscheidung am Ende kommst.
Wenn ich hier das Quotientenkriterium anwende, erhalte ich:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a+\bruch{1}{n+1}}{a+\bruch{1}{n}}\right| [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{a}{a} [/mm] \ = \ 1$$
Und das würde ich auch bei Deiner Rechnung oben erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also reicht es wenn ich die Fallunterscheidung weglasse und einfach nur den Fall für a=1 betrachte? Aber das Wurzelkriterium ist doch auch eine Möglichkeit...oder?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Nein, auch mit dem Wurzelkriterium erhält man hie den Grenzwert 1, so dass keine Aussage möglich ist.
Du musst also ein andere Konvergenzkriterium bemühen, ob diese Reihe überhaupt konvergiert.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ich befürchte das ich hier das Majorantenkriterium anwenden könnte, was ich aber nicht so wirklich weiß.
Leibniz, denke ich nicht, hier müsste ich ja einen alternierenden Faktor [mm] (-1)^n [/mm] haben, Monotonie zeigen und es muss eine Nullfolge sein...
Mehr Kriterien fallen mir persönlich jetzt nicht ein...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 22.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> ich befürchte das ich hier das Majorantenkriterium anwenden
> könnte, was ich aber nicht so wirklich weiß.
>
> Leibniz, denke ich nicht, hier müsste ich ja einen
> alternierenden Faktor [mm](-1)^n[/mm] haben, Monotonie zeigen und
> es muss eine Nullfolge sein...
>
> Mehr Kriterien fallen mir persönlich jetzt nicht ein...
Das allgemeine Kriterium für Potenzreihen ist das von Cauchy-Hadamard, das sich hier auf das Wurzelkriterium reduziert. Dabei kommt $|x|$ heraus, nicht 1!
Wie Loddar schon schrieb, ergibt sich aus dem Quotientenkriterium der Konvergenzradius 1, also ist die Reihe für $|x|<1$ konvergent und für $|x|>1$ divergent.
Für $|x|=1$ ist die Konvergenz daraus nicht bestimmt, aber danach ist in der Aufgabe auch nicht gefragt. Offensichtlich ist für |x|=1 die Folge der Partialsummen keine Nullfolge, also ist die Reihe nicht konvergent.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 23.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
kann ich das wie folgt aufschreiben, oder ist das völlig daneben?
Ich mache eine Abschätzung:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(a+\bruch{1}{n})x^n (a\in \IR)
[/mm]
|a| [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \gdw |a+\bruch{1}{n}| \ge [/mm] 1 [mm] \gdw |(a+\bruch{1}{n})*x^n| \ge [/mm] 1 [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}|(a+\bruch{1}{n})*x^n| \ge [/mm] 1 [mm] \gdw |x^n|\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|(a+\bruch{1}{n})| } \le [/mm] 1
[mm] |x^n| [/mm] konvergiert für |x|<1, der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(a+\bruch{1}{n})| [/mm] =a , da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] Nullfolge, damit konvergiert die Reihe für |x|<1
-> Konvergenzradius [mm] r\le [/mm] 1 -> r=1
Grüße
Damit es zu keinen Missverständnissen führt, wir betrachten den LIMSUP (Eigenschaft von Cauchy Hadamard).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 So 23.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> kann ich das wie folgt aufschreiben, oder ist das völlig
> daneben?
>
> Ich mache eine Abschätzung:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(a+\bruch{1}{n})x^n (a\in \IR)[/mm]
>
> |a| [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\gdw |a+\bruch{1}{n}| \ge[/mm] 1 [mm]\gdw |(a+\bruch{1}{n})*x^n| \ge[/mm]
> 1 [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}|(a+\bruch{1}{n})*x^n| \ge[/mm]
> 1 [mm]\gdw |x^n|\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|(a+\bruch{1}{n})| } \le[/mm]
> 1
>
> [mm]|x^n|[/mm] konvergiert für |x|<1, der
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|(a+\bruch{1}{n})|[/mm] =a , da
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] Nullfolge, damit konvergiert die Reihe für
> |x|<1
>
> -> Konvergenzradius [mm]r\le[/mm] 1 -> r=1
>
> Grüße
>
>
>
>
> Damit es zu keinen Missverständnissen führt, wir betrachten
> den LIMSUP (Eigenschaft von Cauchy Hadamard).
Ich verstehe deine Argumentation nicht. Weder brauchst du die Abschätzung, noch ist das, was du da machst, das Kriterium von Cauchy-Hadamard: da gehört das x nicht unter den Limes, aber dafür der Koeffizient unter die Wurzel.
[mm] \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{|a_n|} = \limsup_{n\to\infty} \wurzel[n]{\left|a+\bruch{1}{n}\right|} = \lim_{n\to\infty} \wurzel[n]{\left|a+\bruch{1}{n}\right|} =1 [/mm]
Also ist der Konvergenzradius 1.
Oder du benutzt das Quotientenkriterium:
[mm] \lim_{n\to\infty} \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty} \left|\bruch{(a+1/(n+1))x^{n+1}}{(a+1/n)x^n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|x\bruch{a+1/(n+1)}{a+1/n} \right| = |x| [/mm]
Also konvergiert die Reihe für $|x|<1$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok! Danke für Eure Hilfe.
Ich habe hier jetzt noch eine andere Aufgabe:
Ich poste sie einfach mal mit meinem Lösungsweg.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a+n)x^n [/mm] (a [mm] \in \IR)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a_{n+1})}{a_n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a+(n+1))x^{n+1}}{(a+n)x^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{x*(a+(n+1))}{a+n}|=x\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a+(n+1))}{a+n}|=x\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a}{a}|=1
[/mm]
Damit wäre der Konvergenzradius 1.
Bitte um Rückmeldung! Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ok! Danke für Eure Hilfe.
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> Ich habe hier jetzt noch eine andere Aufgabe:
> Ich poste sie einfach mal mit meinem Lösungsweg.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(a+n)x^n[/mm] (a [mm]\in \IR)[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a_{n+1})}{a_n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a+(n+1))x^{n+1}}{(a+n)x^n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{x*(a+(n+1))}{a+n}|=x\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a+(n+1))}{a+n}|=x\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a}{a}|=1[/mm]
>
Du hast das sehr unsauber aufgeschrieben, vergiiss die Beträge nicht !!! Mach nach dem vorletzten Gleicheitszeichen so weiter:
[mm] =|x|\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a+(n+1))}{a+n}|=|x|
[/mm]
FRED
> Damit wäre der Konvergenzradius 1.
>
> Bitte um Rückmeldung! Danke!!!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
für |x|<1 konvergiert die Reihe und |x|>1 divergiert sie. Im Fall |x|<1 ist daher der Konvergenzradius doch 1 oder? |x|>1 brauch ich doch nicht zu betrachten???....
Bitte um Rückmeldung!
Danke und Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Der Konvergenzradius ist 1 !!
D.h.: die Potenzreihe konvergiert für |x|<1 und sie divergiert für |x|>1.
Schau Dir nochmal die Def. von "Konvergenzradius" an .
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo Fred,
ich habe ja jetzt |x| als Limes errechnet. Woher weiß ich denn jetzt, dass |x| < 1 ist. Was ja heißt, wie du schon sagtest, dass die Potenzreihe konvergiert. Im Fall |x|>1 divergiert sie ja.
Ich habe mir die Definition nochmal angeschaut.
->Also der Konvergenzradius einer Potenzreihe ist die größte Zahl r, für die gilt: [mm] \forall [/mm] x: [mm] |x-x_0|
Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy Hadamard bzw. des Quotientenkriteriums lösen. Nur bei dem Quotkrit. bin ich auf
folgendes gestoßen : [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] Zähler und Nenner sind hier vertauscht. Ich habe das ja mit [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] berechnet. Hat das hier einen entscheidenden Einfluss auf meine Lösung?
Grüße
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> Hallo Fred,
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> ich habe ja jetzt |x| als Limes errechnet. Woher weiß ich
> denn jetzt, dass |x| < 1 ist.
Hallo,
???
Wenn da steht x=0.75, dann weißt Du, daß es kleiner als 1 ist.
Das Thema bei deiner Aufgabe war aber nicht, ob |x| größer oder kleienr als 1 ist, sondern das Thema war: wie muß x beschaffen sein, damit die Reihe konvergiert.
Du hattest Dich entschieden, das mithilfe des Quotientenkriteriums für Reihen zu untersuchen.
Dein Ergebnis: für |x|< 1 konvergiert die Reihe.
Wenn Du nun inzwischen nachgeschlagen hast, was der Konvergenzradius ist, wirst Du feststellen: der Konvergenzradius ist 1.
> Ich habe mir die Definition nochmal angeschaut.
> ->Also der Konvergenzradius einer Potenzreihe ist die
> größte Zahl r, für die gilt: [mm]\forall[/mm] x: [mm]|x-x_0|
> konvergiert die Potreihe.
Ist Dir beim Lesen auch klargeworden, was Dir das über Deinen Konvergenzradius mitteilt? (Denn deshalb hattest Du es ja gelesen.)
> Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy
> Hadamard bzw. des Quotientenkriteriums lösen. Nur bei dem
> Quotkrit. bin ich auf
> folgendes gestoßen : [mm]|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] Zähler und
> Nenner sind hier vertauscht. Ich habe das ja mit
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] berechnet. Hat das hier einen
> entscheidenden Einfluss auf meine Lösung?
Du kannst Dir ja mal überlegen, wie man von [mm] |x|*|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|<1 [/mm]
darauf kommt, daß man für den Konvergenzradius r alternativ [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] anschauen kann.
Gruß v. Angela
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