Konvergenzrad. ohne Entwckls. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es geht um folgende charackteristische Funktion:
[mm] \bruch{z}{(e^z-1)}=\summe_{n=0}^{\infty}B_n*\bruch{z^n}{n!} [/mm]
[mm] z\in\IC [/mm] |
Ich würde gerne zeigen, dass der Konvergenzradius [mm] 2\pi [/mm] ist, ohne jedoch ohne Verwendung des Entwicklungssatzes.
Unter Verwendung des Satzes wäre es ja einfach; Die kleinste NUllstelle [mm] \not=0 [/mm] ist [mm] 2*i*\pi, [/mm] => Konvergenzradius [mm] R=|2*i*\pi|=2*\pi
[/mm]
Kennt hier jemand von euch einen Beweis (habe meine Literatur durchsucht, jedoch nichts gefunden)?
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Könnte ich evt. irgendetwas mit dem Kotangens machen.
Es gilt ja [mm] \bruch{z}{e^z-1}+\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2i}*z*cot(\bruch{1}{2i}*z)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist so:
Es gibt eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in [mm] \IC [/mm] mit:
$ [mm] \bruch{z}{(e^z-1)}=\summe_{n=0}^{\infty}a_n*z^n [/mm] $ für $|z|< 2 [mm] \pi$
[/mm]
Dann werden die Bernoullizahlen [mm] B_n [/mm] definiert (!) durch:
[mm] $B_n=n!*a_n$
[/mm]
FRED
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