Konvergenznachweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass die Folge [mm] 1/m^k [/mm] für k>1 gegen 0 konvergiert. |
Zuerst stelle ich fest, dass die Folge auch für k=1 gegen 0 konvergiert, was jedoch nciht gefragt ist. Wie ich das zeigen würde, führt auch auf das Problem bei der eigentlichen Aufgabe:
Ich kann ja nicht einfach hinschreiben:
Es gilt [mm] |\bruch{1}{m^k}-0|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_{0}
[/mm]
Ich muss doch auch dazu sagen, wie diese [mm] n_{0} [/mm] beschaffen sind, oder?
Wie mache ich den Nachweis korrekt?
Wie kann ich eine Aussage darüber treffen, für welche n dies gilt?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo geigenzähler,
> Zeige, dass die Folge [mm]1/m^k[/mm] für k>1 gegen 0 konvergiert.
> Zuerst stelle ich fest, dass die Folge auch für k=1 gegen
> 0 konvergiert, was jedoch nciht gefragt ist. Wie ich das
> zeigen würde, führt auch auf das Problem bei der
> eigentlichen Aufgabe:
>
> Ich kann ja nicht einfach hinschreiben:
>
> Es gilt [mm]|\bruch{1}{m^k}-0|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
Was ist denn hier n? Du hast doch in deiner Folge nur ein m. Also für ein was musst du dich schon entscheiden.
>
> Ich muss doch auch dazu sagen, wie diese [mm]n_{0}[/mm] beschaffen
> sind, oder?
Ja. Es heißt ja: "Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] existiert ein [mm] n_0, [/mm] sodass ..."
>
> Wie mache ich den Nachweis korrekt?
Also wir definieren nun erst einmal:
[mm] a_m:=1/m^k, [/mm] k>1.
Die Behauptung ist: [mm] a_m\to{0} [/mm] für [mm] m\to\infty.
[/mm]
Daher werten wir tatsächlich [mm] |a_m-0|<\epsilon [/mm] aus.
Du musst diese Ungleichung nur nach m umstellen. Dann hast du ein solches [mm] m_0 [/mm] in der Tat gefunden. Denn zu vorgegebenen [mm] \epsilon [/mm] hast du dann ein [mm] m_0, [/mm] sodass für alle [mm] m>m_0 [/mm] die obige Ungleichung erfüllt ist.
Falls Frage sind, noch einmal nachfragen. Ich kann dir auch wärmstens das Mitglied "dieAcht" empfehlen. Er ist ein penibler Spezialist in Sachen Folgen und deren Definition und kann daher das Thema erstaunlich heftig erläutern. Findest du auch etliche Beiträge bzgl. dieses Thema in seinen Beiträgen 
> Wie kann ich eine Aussage darüber treffen, für welche n
> dies gilt?
>
>
> __
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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S0?
[mm] |\bruch{1}{m^k}-0|<\varepsilon [/mm]
[mm] \gdw 1/m^k<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw 1/\varepsilon
[mm] \gdw \wurzel[k]{1/\varepsilon}
[mm] \gdw \varepsilon^{-k}
Sei dieses m nun mein [mm] m_{0}.
[/mm]
So gilt für alle [mm] m>m_{0} [/mm] :
[mm] |\bruch{1}{m^k}-0|<\varepsilon [/mm]
Und damit ist die Konvergenz bewiesen.
Dazu muss ich aber den Grenzwert schon kennen, oder? Ich könnte ja statt 0 einfach auch mit einem fiktiven Grenzwert 1 ein [mm] m_{0} [/mm] ausrechnen, wobei ja nur Falsches herauskommen kann.
Danke für die Antworten.
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Bist Du Dir sicher?
k ist doch einfach vorgegeben als [mm] k\in \IN [/mm] und k>1.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Di 04.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bist Du Dir sicher?
>
> k ist doch einfach vorgegeben als [mm]k\in \IN[/mm] und k>1.
ne, Loddar hat sich einfach vertan (ich habe aber auch sowas wie
[mm] $\sqrt[k]{1/\epsilon}$ [/mm]
echt fies als
[mm] $\exp(-\ln(\epsilon)/k)$
[/mm]
getarnt... Das war quasi der Geheimagent unter den Wurzelanhängern.
Und ich glaube, dass ich Loddar damit ein wenig verwirrt hatte...)
Gruß,
Marcel
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Hiho,
da du ja bereits Erkenntnisse zu [mm] \bruch{1}{m} [/mm] geäußert hast, geht das wohl am schnellsten mit:
$0 [mm] \le \bruch{1}{m^k} \le \bruch{1}{m}$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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" 0 [mm] \le \bruch{1}{m^k} \le \bruch{1}{m} [/mm] "
Das wäre dann der Einschnürungssatz, oder?
Dazu müsste ich trotzdem einen ähnlichen Weg wie angedeutet gehen, denn ich müsste ja die konvergenz von 1/m beweisen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Di 04.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Das wäre dann der Einschnürungssatz, oder?
Ja.
> Dazu müsste ich trotzdem einen ähnlichen Weg wie
> angedeutet gehen, denn ich müsste ja die konvergenz von
> 1/m beweisen.
Ja, aber ich kann mir beim besten Willen nicht erklären,
weshalb du den Einschnürungssatz zur Verfügung hast, aber
nicht bekannt ist, dass die Folge
[mm] a_n:=(\frac{1}{n})_{n\in\IN}
[/mm]
eine Nullfolge ist.
Das ist in der Regel der erste Beweis, den man in seinem
Mathematikstudium zur Epsilontik macht.
Sei es drum.
Zeige, dass es für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] N=N_\epsilon\in\IN [/mm] gibt,
sodass für alle $n>N$ folgendes gilt:
[mm] |a_n-0|<\epsilon.
[/mm]
Wie musst du also dein $N$ wählen?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Di 04.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo DieAcht,
> Hallo,
>
>
> > Das wäre dann der Einschnürungssatz, oder?
>
> Ja.
>
> > Dazu müsste ich trotzdem einen ähnlichen Weg wie
> > angedeutet gehen, denn ich müsste ja die konvergenz von
> > 1/m beweisen.
>
> Ja, aber ich kann mir beim besten Willen nicht erklären,
> weshalb du den Einschnürungssatz zur Verfügung hast,
> aber
> nicht bekannt ist, dass die Folge
>
> [mm]a_n:=(\frac{1}{n})_{n\in\IN}[/mm]
>
> eine Nullfolge ist.
>
> Das ist in der Regel der erste Beweis, den man in seinem
> Mathematikstudium zur Epsilontik macht.
>
> Sei es drum.
>
> Zeige, dass es für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N=N_\epsilon\in\IN[/mm]
> gibt,
> sodass für alle [mm]n>N[/mm] folgendes gilt:
>
> [mm]|a_n-0|<\epsilon.[/mm]
>
> Wie musst du also dein [mm]N[/mm] wählen?
man sollte hier vielleicht sagen "Wie kannst Du ein solches [mm] $N\,$ [/mm] also
wählen"?
(Deswegen auch mal der Hinweis: Man muss nicht immer "das optimale",
also das kleinstmögliche [mm] $N\,,$ [/mm] dass die Forderung erfüllt, angeben. Wenn man
weiß, dass die Ungleichung für alle $n > [mm] N_\epsilon$ [/mm] gilt, dann gilt sie doch sicher
auch für alle $n > N'$ mit einem $N' > [mm] N_\epsilon.$ [/mm] Und wenn [mm] $N_\epsilon$ [/mm] jetzt
'zufällig' wirklich das optimale war, jemand aber [mm] $N':=1000*N_\epsilon+347$ [/mm]
angibt, dann hat er auch gewonnen...)
Übrigens, was vielen leichter fällt als dieser Archimedes, ist das Verwenden
der Gaußklammer (wenngleich da auch eigentlich wieder Archimedes
dahintersteckt - der hat halt überall seine Finger im Spiel gehabt...).
Aber ansonsten: Man rechne hier erstmal so, wie man es in einem
angeordneten Körper darf und hoffe, dass man irgendwann lernt, dass
[mm] $(\IR,+,\cdot,<)$ [/mm] wirklich sowas ist...
Gruß,
Marcel
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"Ja, aber ich kann mir beim besten Willen nicht erklären,
weshalb du den Einschnürungssatz zur Verfügung hast, aber
nicht bekannt ist, dass..."
Bekannt ist mir das natürlich.
Ich weiß halt manchmal nicht, was ich vorraussetzten darf ohne dass diese Vorraussetzg. auch explizit bewiesen werden muss. Aber das müsste ich wissen...
"Zeige, dass es für alle $ [mm] \epsilon>0 [/mm] $ ein $ [mm] N=N_\epsilon\in\IN [/mm] $ gibt,
sodass für alle $ n>N $ folgendes gilt:
$ [mm] |a_n-0|<\epsilon. [/mm] $
Wie musst du also dein $ N $ wählen? "
Ich setze die Folge in die Ungleichung ein und löse sie nach n (bzw in meinem Fall lt. Aufgabe nach m auf). Da stünde dann
[mm] \epsilon^{-k}
und dann der Spruch
für alle [mm] m>\epsilon^{-k} [/mm] gilt [mm] |1/m^k-0|<\epsilon
[/mm]
...und da es offensichtlich solche m (nämlich gerade diese [mm] m>\epsilon^{-k}) [/mm] gibt, ist die Konvergenz bewiesen.
So?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 04.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> "Ja, aber ich kann mir beim besten Willen nicht erklären,
> weshalb du den Einschnürungssatz zur Verfügung hast,
> aber
> nicht bekannt ist, dass..."
>
> Bekannt ist mir das natürlich.
> Ich weiß halt manchmal nicht, was ich vorraussetzten darf
> ohne dass diese Vorraussetzg. auch explizit bewiesen werden
> muss. Aber das müsste ich wissen...
>
> "Zeige, dass es für alle [mm]\epsilon>0[/mm] ein [mm]N=N_\epsilon\in\IN[/mm]
> gibt,
> sodass für alle [mm]n>N[/mm] folgendes gilt:
>
> [mm]|a_n-0|<\epsilon.[/mm]
>
> Wie musst du also dein [mm]N[/mm] wählen? "
>
> Ich setze die Folge in die Ungleichung ein und löse sie
> nach n (bzw in meinem Fall lt. Aufgabe nach m auf). Da
> stünde dann
>
> [mm]\epsilon^{-k}
>
> und dann der Spruch
> für alle [mm]m>\epsilon^{-k}[/mm] gilt [mm]|1/m^k-0|<\epsilon[/mm]
> ...und da es offensichtlich solche m (nämlich gerade
> diese [mm]m>\epsilon^{-k})[/mm] gibt, ist die Konvergenz bewiesen.
>
> So?
na, das ist nicht ganz so schön. Du kannst sagen:
Es gibt sicher ein (minimales) [mm] $m_0 \in \IN_0$ [/mm] so, dass
[mm] $m_0 [/mm] > [mm] \epsilon^{-k}$
[/mm]
gilt. (Warum?)
Für alle $m [mm] \ge m_0$ [/mm] folgt dann...
Worauf man aber eigentlich hinaus wollte, war hier doch das:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt für festes $k [mm] \ge [/mm] 1$
$0 < [mm] \frac{1}{n^k} \le \frac{1}{n}.$
[/mm]
Weil $1/n [mm] \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] gilt, existiert sicher ein
[mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit $0 < 1/n < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n > [mm] n_0.$
[/mm]
(Solch' eines kannst Du auch konkret[er] angeben!)
Welche Abschätzung " bzgl. [mm] $1/n^k$ [/mm] " folgt dann auch für alle $n > [mm] n_0$?
[/mm]
(Hier siehst Du dann auch an der [mm] '$k\,$-unabhängigen [/mm] Wahl von [mm] $n_0$', [/mm] dass
dieses wohl nicht *optimal* gewählt wird.)
Gruß,
Marcel
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Nur mal schnell zu diesem Punkt:
"Worauf man aber eigentlich hinaus wollte, war hier doch das:
Für jedes $ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt für festes $ k [mm] \ge [/mm] 1 $
$ 0 < [mm] \frac{1}{n^k} \le \frac{1}{n}. [/mm] $"
Warum will man gerade hierauf hinaus?
Ich möchte Konvergenz gegen 0 nachweisen. Habe ich jetzt nicht gezeigt, dass das Endstück, also fast alle Folgenglieder in $ [mm] |a_n-0|<\epsilon. [/mm] $ liegen? Dies wollte ich damit nachweisen, dass ich zeige, dass dies ab einem gewissen Index tatsächlich der Fall ist. Reicht das nicht als Nachweis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Mi 05.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Nur mal schnell zu diesem Punkt:
>
> "Worauf man aber eigentlich hinaus wollte, war hier doch
> das:
> Für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt für festes [mm]k \ge 1[/mm]
Es ist übrigens [mm] $k\not=1$, [/mm] denn nach Aufgabenstellung ist $k>1$ (fest).
> [mm]0 < \frac{1}{n^k} \le \frac{1}{n}. [/mm]"
> Warum will man gerade hierauf hinaus?
Es gibt (hier) viele Wege zum Beweis. Guck dir noch einmal ganz
in Ruhe den ![[]](/images/popup.gif) Einschnürungssatz an. Diesen wollen wir hier auch
verwenden. Es gilt offenbar folgende Eigenschaft:
[mm] 0<\frac{1}{m^k}<\frac{1}{m} [/mm] für alle [mm] m\in\IN [/mm] und ein festes $k>1$. (*)
Wir wollen zeigen, dass die gegebene Folge [mm] a_m:=(\frac{1}{m^k})_{m\in\IN} [/mm] mit
$k>1$ eine Nullfolge ist und benutzen den Einschnürungssatz.
Setze [mm] b_m:=(0)_{m\in\IN} [/mm] und [mm] c_m:=(\frac{1}{m})_{m\in\IN}.
[/mm]
Offensichtlich sind [mm] b_m [/mm] und [mm] c_m [/mm] Nullfolgen. Nun folgt durch
die Ungleichung (*) und dem Einschnürungssatz, dass [mm] a_m [/mm] auch
eine Nullfolge ist!
> Ich möchte Konvergenz gegen 0 nachweisen. Habe ich jetzt
> nicht gezeigt, dass das Endstück, also fast alle
> Folgenglieder in [mm]|a_n-0|<\epsilon.[/mm] liegen? Dies wollte ich
> damit nachweisen, dass ich zeige, dass dies ab einem
> gewissen Index tatsächlich der Fall ist. Reicht das nicht
> als Nachweis?
Das war Quatsch! Du müsstest hier zeigen, sofern ihr es
nicht als Voraussetzung benutzen dürft, dass [mm] c_m [/mm] eine Null-
folge ist. Das sollte aber klar sein und wenn nicht, dann
solltest du das ohne Probleme selbst zeigen können. Dafür
hast du schon sehr viele Tipps bekommen, die du leider nicht
richtig interpretiert hast.
Du hast nun mehrere Lösungsideen gesehen. Du kannst übrigens
zitieren, sodass das Antworten auch einfacher fällt. Ich
hoffe, dass dir nun klar ist was hier gemacht worden ist.
Gruß
DieAcht
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Das mit dem Einschnürungssatz habe ich schon verstanden.
Ich wollte jedoch den Weg gehen mit dem Kriterium
[mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] .
Ich war der Meinung, dass ich die Konvergenz auch damit beweisen kann.
Marcel:
"
Du kannst sagen:
Es gibt sicher ein (minimales) $ [mm] m_0 \in \IN_0 [/mm] $ so, dass
$ [mm] m_0 [/mm] > [mm] \epsilon^{-k} [/mm] $
gilt."
Folgt daraus nicht die Konvergenz?
Das wäre mein Ziel gewesen.
Dagegen steht:
"> geigenzaehler:"Ich möchte Konvergenz gegen 0 nachweisen. Habe ich jetzt
> nicht gezeigt, dass das Endstück, also fast alle
> Folgenglieder in $ [mm] |a_n-0|<\epsilon. [/mm] $ liegen? Dies wollte ich
> damit nachweisen, dass ich zeige, dass dies ab einem
> gewissen Index tatsächlich der Fall ist. Reicht das nicht
> als Nachweis?"
DieAcht :
Das war Quatsch! Du müsstest hier zeigen, sofern ihr es
nicht als Voraussetzung benutzen dürft, dass $ [mm] c_m [/mm] $ eine Null-
folge ist."
Mir ging es bei dieser Aufgabe, den Umgang mit diesem [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] zu verstehen. Wofür sonst wäre diese Ungleichung zu gebrauchen wenn nicht zum KOnvergenznachweis?
Nochmal: Ich habe den Einschnürungssatz allgemein und im vorliegenden speziellen Fall verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Mi 05.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Das mit dem Einschnürungssatz habe ich schon verstanden.
Okay.
> Ich wollte jedoch den Weg gehen mit dem Kriterium
>
> [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm] .
>
> Ich war der Meinung, dass ich die Konvergenz auch damit
> beweisen kann.
Natürlich!
> Marcel:
> "
> Du kannst sagen:
> Es gibt sicher ein (minimales) [mm]m_0 \in \IN_0[/mm] so, dass
>
> [mm]m_0 > \epsilon^{-k}[/mm]
>
> gilt."
> Folgt daraus nicht die Konvergenz?
Ja, denn für alle [mm] $m\ge m_0$ [/mm] gilt:
[mm] |a_m|<\epsilon.
[/mm]
> Das wäre mein Ziel gewesen.
>
> Dagegen steht:
> "> geigenzaehler:"Ich möchte Konvergenz gegen 0
> nachweisen. Habe ich jetzt
> > nicht gezeigt, dass das Endstück, also fast alle
> > Folgenglieder in [mm]|a_n-0|<\epsilon.[/mm] liegen? Dies wollte
> ich
> > damit nachweisen, dass ich zeige, dass dies ab einem
> > gewissen Index tatsächlich der Fall ist. Reicht das
> nicht
> > als Nachweis?"
Ja, allerdings schreibt man dann den Beweis von Anfang an
nochmal sauber auf.
> DieAcht :
> Das war Quatsch! Du müsstest hier zeigen, sofern ihr es
> nicht als Voraussetzung benutzen dürft, dass [mm]c_m[/mm] eine
> Null-
> folge ist."
>
> Mir ging es bei dieser Aufgabe, den Umgang mit diesem
> [mm]|a_{n}-a|<\varepsilon[/mm] zu verstehen. Wofür sonst wäre
> diese Ungleichung zu gebrauchen wenn nicht zum
> KOnvergenznachweis?
>
> Nochmal: Ich habe den Einschnürungssatz allgemein und im
> vorliegenden speziellen Fall verstanden.
Okay. 
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Di 04.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> "Ja, aber ich kann mir beim besten Willen nicht erklären,
> weshalb du den Einschnürungssatz zur Verfügung hast,
> aber
> nicht bekannt ist, dass..."
>
> Bekannt ist mir das natürlich.
> Ich weiß halt manchmal nicht, was ich vorraussetzten darf
> ohne dass diese Vorraussetzg. auch explizit bewiesen werden
> muss. Aber das müsste ich wissen...
In der Regel darfst du alles verwenden was ihr schon hattet
und bewiesen habt. Damit meine ich natürlich nicht irgendein
Wissen aus der Schule, sondern nur Definitionen, Sätze, Lem-
mata und Korollare aus der Vorlesung/Übung/Tutorien/Hausauf-
gaben. Es kann aber vorkommen, dass die Aufgabenstellung be-
stimmte Dinge verbietet.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Di 04.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> "Ja, aber ich kann mir beim besten Willen nicht erklären,
> weshalb du den Einschnürungssatz zur Verfügung hast,
> aber
> nicht bekannt ist, dass..."
>
> Bekannt ist mir das natürlich.
> Ich weiß halt manchmal nicht, was ich vorraussetzten darf
> ohne dass diese Vorraussetzg. auch explizit bewiesen werden
> muss. Aber das müsste ich wissen...
DieAcht hat dazu ja schon was gesagt. Ich mach's jetzt mal konkreter:
Hier könntest Du bspw. in diesem Analysis-Skript auf
Satz 3.18 ("Existenz/Definition der reellen Zahlen"), Satz 3.19 (Version
des Archimedischen SatzesEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) sowie auf die Rechenregeln von Satz 3.3
verweisen.
Prinzipiell musst Du halt immer davon ausgehen: Du darfst nur das
verwenden, was eingeführt bzw. "erlaubt" worden ist. Genauer gesagt
heißt das, dass Du anhand Deiner Unterlagen entweder das, was Du
benutzt, *herzeigen* kannst, oder aber, dass Du mit dem, was ihr zur
Verfügung stehen habt, das, was Du *brauchst*, herleiten (beweisen)
können musst.
Ich mache mal ein eigentlich relativ schönes Beispiel: Nehmen wir an,
Du solltest nachweisen, dass
$(n^2)_{n \in \IN}$
eine streng wachsende Folge ist. Ich mache das jetzt mal auf einem Weg,
den Du vielleicht mit Schulwissen nachvollziehen könntest, den Du aber
vielleicht mit dem Euch aktuell zur Verfügung stehenden Material (noch)
nicht gehen darfst (übrigens wird sich das im Laufe der Zeit ändern, denn
irgendwann hast Du auch alles, was Du aus der Schule kennst, zur Hand,
und je nachdem, wie weit Du gehst, darfst Du später auch auf aktuelle
Forschungsergebnisse zugreifen, die jetzt vielleicht dann noch nicht so für
die breite Masse zur Verfügung stehen - aber dann liegt es auch an Dir,
ob Du *blind* den Ergebnissen vertraust oder sie lieber nachvollziehst,
um Dir sicher zu sein, dass sie auch für Deine Zwecke passen - daher auch
dieser *komplizierte* Schulungsweg, der anfangs anstrengend sein kann):
Ich betrachte einfach
$f \colon ]0,\infty[ \to \IR$ mit $f(x):=x^2$ für alle $x > 0\,.$
Wegen
$f\,'(x)=2x > 0$ für alle $x > 0\,$
ist $f\,$ streng monoton wachsend (die Diff'barkeit hattet ihr in Eurer
Vorlesung evtl. noch nicht, und selbst wenn, dann vielleicht doch diesen
Satz, der hinreichend für *streng monoton wachsend* ist, noch nicht).
Damit ist die eingeschränkte Funktion
$\left.f\right|_{\IN}$
auch streng monoton wachsend, und daraus folgt die Behauptung bzgl.
der obigen Folge.
Und wie könntest Du das jetzt machen? Naja, viel aufwendiger ist es nicht:
Du könntest bspw. (weil $n^2 > 0$ stets ist)
$(n+1)^2/n^2 > 1$ (für alle $n \in \IN$)
nachrechnen - oder sogar nur
$(n+1)^2 > n^2$ (für alle $n \in \IN$)
*kurz* begründen.
Und jetzt denkst Du vielleicht: "Naja, aber das geht hier doch wesentlich
schneller."
Ja, nicht immer ist das Mittel der Wahl auch passend einfach. Aber die
obige Methode kann auch sonst gut helfen:
Z.B. kann man
$n^2 < 2^n$ für alle natürlichen $n > 4\,$
per Induktion beweisen.
Man kann sich aber auch mal den Graphen von
$f(x):=2^x-x^2$ (für $x > 0\,$)
plotten lassen und kommt dann vielleicht auf die Idee:
$f(4)=0\,$
und
$f'(x)=\ln(2)*2^x-2x > 0$ für alle $x > 4\,$
nachzuweisen. Vielleicht guckt man sich sogar dafür einfach
$f''(x)=(\ln(2))^2*2^x-2$
an - damit kann man dann auch etwas über das Monotonieverhalten von
$f'\,$ (für $x > 4$) sagen (wichtig ist, dass auch $f'(4) > 0\,$ hier ist), oder man weiß direkt
etwas über "Konvexität" von $f\,.$
Und wenn man fertig ist, weiß man sogar über
$f(x)=2^x-x^2$
wesentlich mehr, als, dass diese Funktion $> 0\,$ ist für alle $x \in \IN$ mit $x > 4$:
Man weiß das nämlich dann sogar für alle reellen(!) $x > 4\,.$
Worauf ich hinaus will: Du wirst sehen, manches wird Dich jetzt ein wenig
*quälen*, aber im Endeffekt wirst Du irgendwann sehen:
Wenn Du eh nur
$n^2 < 2^n$ für alle natürlichen $n > 4\,$
brauchst, dann wirst Du, wenn Dir gerade nichts besseres einfällt, das
schnell etwa per Induktion lösen, oder aber, Du wirst sagen: "Hey, ich
habe jetzt so viel Zeugs an der Hand, ich mache das mal *schnell und
elegant* wie folgt: Die Funktion $f(x)=2^x-x^2$ ist diff'bar auf $x > 4\,$ und nach
den bekannten Rechenregeln für die Ableitung folgt...".
Das heißt aber nicht unbedingt, dass man *immer* einen einfacheren Weg
zur Hand haben *muss* - aber oft hat man vielleicht eine Alternative, mit
der man *selbst* vielleicht besser zurecht kommt, um ein bestimmtes
Problem in den Griff zu bekommen...
Gruß,
Marcel
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Danke für den ausführlichen und leidenschaftlichen Text! :)
Ich schaue mir das am Tage dann nochmal an.
Ich würde die Monotonie wahrscheinlich induktiv beweisen, ausgehend davon, dass das Folgeglied immer größer ist als das vorausgegangene, also
Aussage [mm] (n+1)^2>n^2.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:27 Do 06.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für den ausführlichen und leidenschaftlichen Text!
> :)
> Ich schaue mir das am Tage dann nochmal an.
>
> Ich würde die Monotonie wahrscheinlich induktiv beweisen,
> ausgehend davon, dass das Folgeglied immer größer ist als
> das vorausgegangene, also
> Aussage [mm](n+1)^2>n^2.[/mm]
ja, in diesem Spezialfall geht das ja sehr einfach. Dennoch reicht es nicht,
einfach nur zu sagen "Die Behauptung stimmt, weil sie stimmt". Du rechnest
dann hier etwa so:
Es gilt
[mm] $(n+1)^2 [/mm] > [mm] n^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $n^2+2n+1 [/mm] > [mm] n^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\blue{2n+1 > 0}\,.$
[/mm]
Also folgt die Behauptung durch lesen der Umformungen von unten nach
oben und wenn man dabei bei den [mm] $\iff$ [/mm] die [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] verwendet, denn
dass (sogar) für $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt
$n [mm] \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $2n [mm] \ge [/mm] 2*0=0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $2n+1 [mm] \ge [/mm] 0+1=1 >0$
ist klar; also ist die blaue Ungleichung auch als wahr erkannt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Di 04.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige, dass die Folge [mm]1/m^k[/mm] für k>1 gegen 0 konvergiert.
> Zuerst stelle ich fest, dass die Folge auch für k=1 gegen
> 0 konvergiert, was jedoch nciht gefragt ist. Wie ich das
> zeigen würde, führt auch auf das Problem bei der
> eigentlichen Aufgabe:
>
> Ich kann ja nicht einfach hinschreiben:
>
> Es gilt [mm]|\bruch{1}{m^k}-0|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>n_{0}[/mm]
>
> Ich muss doch auch dazu sagen, wie diese [mm]n_{0}[/mm] beschaffen
> sind, oder?
>
> Wie mache ich den Nachweis korrekt?
> Wie kann ich eine Aussage darüber treffen, für welche n
> dies gilt?
es wurde ja schon einiges gesagt - aber trotzdem mal der Hinweis, dass
Du die Aufgabe auch ganz elementar lösen könntest:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wir fragen uns: Gibt es ein natürliches [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass für alle
$n > N$ gilt
[mm] $|1/n^k-0| [/mm] < [mm] \epsilon$?
[/mm]
Nunja:
[mm] $|1/n^k-0| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $\iff$ $1/n^k [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] (Warum?)
[mm] $\iff$ $n^k [/mm] > [mm] \frac{1}{\epsilon}$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $k [mm] \ln(n) [/mm] > [mm] \ln(\tfrac{1}{\epsilon})$ [/mm] (Warum? Hinweis: Monotonieverhalten des [mm] $\ln$ [/mm] bzw. von [mm] $\exp$...)
[/mm]
[mm] $\iff$ $\ln(n) [/mm] > [mm] \frac{\ln(\tfrac{1}{\epsilon})}{k}=\frac{-\ln(\epsilon)}{k}$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $n > [mm] \exp(\frac{-\ln(\epsilon)}{k})$ [/mm] (Warum?)
Warum habe ich das so umständlich gemacht? Naja, weil es geht... Was
sieht man hier?
Man kann immer ein solches [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] finden:
[mm] ${N_\epsilon}^{\text{mini}}(k):=\lfloor \exp(\frac{-\ln(\epsilon)}{k})\rfloor$
[/mm]
ist aber wohl "das kleinstmögliche". (Beachte, dass [mm] ${N_\epsilon}^{\text{mini}}(k)$ [/mm] nicht von [mm] $n\,$ [/mm]
abhängt - beachte, dass [mm] $k\,$ [/mm] fest ist!)
Was sieht man noch?
Interessant ist es, sich mal (bei festem [mm] $k\,$) [/mm] den Wert von
[mm] ${N_\epsilon}^{\text{mini}}(k)$
[/mm]
für [mm] $\epsilon=1$ [/mm] anzugucken. Man kann auch mal gucken, was mit [mm] ${N_\epsilon}^{\text{mini}}(k)$
[/mm]
passiert, wenn [mm] $\epsilon [/mm] > 1$ gewählt wird, und warum hier der Fall $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ eigentlich
nur der interessante Fall ist - was man sich bei einem kleinen Blick auf die
Ausgangsungleichung auch klarmachen kann.
Und dann kann man auch mal bei festem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ sich angucken, wie
[mm] ${N_\epsilon}^{\text{mini}}(k)$
[/mm]
im Vergleich mit
[mm] ${N_\epsilon}^{\text{mini}}(\red{1})$
[/mm]
"wegkommt" - was man eigentlich auch Gonos Hinweis entnehmen könnte.
Aber wie man sieht: Man kann hier, auch, wenn es eigentlich eher eine
unnötig erscheinende Rechnung ist, trotzdem anhand dieses Ergebnisses
so einiges *sehen*!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Di 04.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Alternativ kann man sich auch folgendes überlegen:
Sei die Folge [mm] a_m:=m^k [/mm] mit festem $k>1$ gegeben, dann gilt:
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}a_m=\infty.
[/mm]
Jetzt hattet ihr sicher einen Satz oder du kannst dir selbst
überlegen bzw. beweisen, dass dann sofort folgendes folgt:
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\frac{1}{a_m}=0.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Ja, das erscheint mir als die intuitivste Herangehensweise.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du formst hier nach der falschen Variable um. Du musst ja nach der Zählervariable $k \ > \ ...$ umformen.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ja.
