Konvergenzkriterium von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 24.11.2006 | | Autor: | maybe. |
| Aufgabe | Zeige oder widerlege:
Wenn [mm] (a_{n}+b_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (a_{n}-b_{n})_{n \in \IN} [/mm] konvergieren, so auch die Folgen [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] |
Also ich bin mir recht sicher, dass die Aussage wahr ist (klingt irgendwie logisch und ich finde auch kein gegenbeispiel), habe aber keine idee wie ich es beweisen soll. Könnte mir vorstellen, dass ich verwenden muss / kann, dass [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] beschränkt sind. Über einen Denkanstoss würde ich mich sehr freuen. Danke im vorraus.
Gruss!
Ich hab die Frage sonst nirgends gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Fr 24.11.2006 | | Autor: | andreas |
hi
verwende am besten das cauchy-kriterium und probiere dann [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] = [mm] \frac{1}{2}|(a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] - [mm] (a_m [/mm] + [mm] b_m) [/mm] + [mm] (a_n [/mm] - [mm] b_n) [/mm] - [mm] (a_m [/mm] - [mm] b_m)|$ [/mm] geeignet abzuschätzen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Fr 24.11.2006 | | Autor: | maybe. |
zu dumm cauchy kriterium hatten wir noch nicht :(
trotzdem danke, gehts auch anders, meinst du der satz ist wahr ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:43 Sa 25.11.2006 | | Autor: | andreas |
hi
es geht auch ohne cauchy-kriterium. konvergiere [mm] $(a_n [/mm] + [mm] b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] gegen $c$ und [mm] $(a_n [/mm] - [mm] b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] gegen $d$ (was genau heißt das formal?), dann konvergiert [mm] $(a_n)__{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] gegen [mm] $\frac{c + d}{2}$. [/mm] denn es gilt
[m] |a_n - \frac{c + d}{2}| = \frac{1}{2} | a_n + b_n - c + a_n - b_n - d| \leq \frac{1}{2} \left( |(a_n + b_n) - c| + |(a_n - b_n) - d| \right) [/m]
schätzt man hier geeignet ab, so sollte man das gewünschte erhalten, ähnlich für [mm] $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$. [/mm] probiere das doch mal.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 25.11.2006 | | Autor: | maybe. |
Hallo andreas,
danke das hat geholfen! also wir wissen :
[mm] (a_{n} [/mm] + [mm] b_{n})_{n \in \IN} [/mm] konvergiert gegen c und [mm] (a_{n} [/mm] - [mm] b_{n})_{n \in \IN} [/mm] gegen d
das heisst also:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N_{1} \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - c | < [mm] \varepsilon
[/mm]
und
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N_{2} \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] -d | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Behauptung: [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] konvergiert gegen [mm] \bruch{c+d}{2}
[/mm]
also: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N_{3} \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_n [/mm] - [mm] \bruch{c+d}{2} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
es gilt aber:
$ [mm] |a_n [/mm] - [mm] \frac{c + d}{2}| [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] | [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - c + [mm] a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] - d| [mm] \leq \frac{1}{2} \left( |(a_n + b_n) - c| + |(a_n - b_n) - d| \right) [/mm] $
und weiter:
[mm] |a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - c | + [mm] |a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] -d | < 2 [mm] \varepsilon
[/mm]
also auch:
[mm] \bruch{1}{2}(|a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - c | + [mm] |a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] -d |) < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also insgesamt:
$ [mm] |a_n [/mm] - [mm] \frac{c + d}{2}| [/mm] $ < [mm] \varepsilon
[/mm]
und somit:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_n [/mm] - [mm] \bruch{c+d}{2} [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ist das so richtig ? Also wenn ja, glaube ich das verstanden zu haben, und ich hätte das glaub auch allein hingekriegt wenn mir jemand gesagt hätte was der grenzwert von [mm] a_{n} [/mm] ist. Aber wie kommt man denn bitte auf die [mm] \bruch{c+d}{2} [/mm] ?? Reine Intuition oder probiert man das an paar Beispielen aus ? Ein 'Verfahren' um den Grenzwert zu ermitteln wäre natürlich auch was tolles :)
also danke nochmal!!
gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Sa 25.11.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> [mm](a_{n}[/mm] + [mm]b_{n})_{n \in \IN}[/mm] konvergiert gegen c und
> [mm](a_{n}[/mm] - [mm]b_{n})_{n \in \IN}[/mm] gegen d
> das heisst also:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists N_{1} \in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm] n
> [mm]\ge[/mm] N: [mm]|a_n[/mm] + [mm]b_n[/mm] - c | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> und
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists N_{2} \in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm] n
> [mm]\ge[/mm] N: [mm]|a_n[/mm] - [mm]b_n[/mm] -d | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Behauptung: [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] konvergiert gegen
> [mm]\bruch{c+d}{2}[/mm]
> also: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists N_{3} \in \IN[/mm] :
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N: [mm]|a_n[/mm] - [mm]\bruch{c+d}{2}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> es gilt aber:
>
> [mm]|a_n - \frac{c + d}{2}| = \frac{1}{2} | a_n + b_n - c + a_n - b_n - d| \leq \frac{1}{2} \left( |(a_n + b_n) - c| + |(a_n - b_n) - d| \right)[/mm]
>
> und weiter:
>
> [mm]|a_n[/mm] + [mm]b_n[/mm] - c | + [mm]|a_n[/mm] - [mm]b_n[/mm] -d | < 2 [mm]\varepsilon[/mm]
>
> also auch:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(|a_n[/mm] + [mm]b_n[/mm] - c | + [mm]|a_n[/mm] - [mm]b_n[/mm] -d |) <
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Also insgesamt:
>
> [mm]|a_n - \frac{c + d}{2}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> und somit:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> N: [mm]|a_n[/mm] - [mm]\bruch{c+d}{2}[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> Ist das so richtig ?
das sieht sehr gut aus. man kann noch [mm] $N_3 [/mm] = N$ in abhängigkeit von [mm] $N_1$ [/mm] und [mm] $N_2$ [/mm] angeben, damit man dessen existenz gezeigt hat (und damit man alle abschätzungen rechtfertigen kann).
> Also wenn ja, glaube ich das
> verstanden zu haben, und ich hätte das glaub auch allein
> hingekriegt wenn mir jemand gesagt hätte was der grenzwert
> von [mm]a_{n}[/mm] ist. Aber wie kommt man denn bitte auf die
> [mm]\bruch{c+d}{2}[/mm] ?? Reine Intuition oder probiert man das an
> paar Beispielen aus ?
deswegen hatte ich auch anfänglich das cauchy-kriterium vorgeschlagen. mit diesem kann man nämlich (in vollständigen) räumen die konvergenz nachweisen ohne den grenzwert zu kennen. ansonsten muss man sich bei soetwas eben auf seine intuition verlassen, beziehungsweise hier sieht man auch, dass
[m] 2 a_n = (a_n + b_n) + (a_n - b_n) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} c + d [/m]
gilt und daran kann man natürlich auch den grenzwert von [mm] $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] ablesen.
> Ein 'Verfahren' um den Grenzwert zu
> ermitteln wäre natürlich auch was tolles :)
wenn sich die folgen aus folgen zusammensetzen deren grenzwerte schon bekannt sind, kann man dies meist auch, bei beliebigen folgen wird das dann schon etwas schwieriger.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 25.11.2006 | | Autor: | maybe. |
hier sieht man auch, dass
$ 2 [mm] a_n [/mm] = [mm] (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] + [mm] (a_n [/mm] - [mm] b_n) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} [/mm] c + d $
gilt und daran kann man natürlich auch den grenzwert von $ [mm] (a_n)_{n \in \mathbb{N}} [/mm] $ ablesen.
Würde das nicht schon als Beweis ausreichen ? Den Trick merk ich mir!
Damit ist der Grenzwert von [mm] b_{n} [/mm] ja auch 'geschenkt' :)
und gilt für [mm] N_{3}
[/mm]
einfach [mm] N_{3}= max(N_{1},N_{2})
[/mm]
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Sa 25.11.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> hier sieht man auch, dass
>
> [mm]2 a_n = (a_n + b_n) + (a_n - b_n) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} c + d[/mm]
>
>
> gilt und daran kann man natürlich auch den grenzwert von
> [mm](a_n)_{n \in \mathbb{N}}[/mm] ablesen.
>
> Würde das nicht schon als Beweis ausreichen ?
im prinzip ja. man muss sich nur, um diese rechenregel anwenden zu dürfen, vorher klarmachen, dass alle beteiligten folgen konvergieren.
> und gilt für [mm]N_{3}[/mm]
>
> einfach [mm]N_{3}= max(N_{1},N_{2})[/mm]
richtig. mit dieser rechnung wird eben auch nochmal explizit gezeigt, dass [mm] $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] konvergiert.
grüße
andreas
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