Konvergenzkriterien bei Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Betrachte die folgende Reihe: $ [mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} [/mm] $. Zeige, dass man darauf das Wurzelkriterium für Konvergenz anwenden kann, das Quotientenkriterium aber nicht. |
Wir haben uns schon überlegt, wie die Reihe aussieht:
[mm] a_{n} [/mm] = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + 1/16 + ...
Anders ausgedrückt kann man also [mm] a_{n} [/mm] schreiben als [mm] \sum_{n=0}^\infty [/mm] 2 * 2^-n - das entspricht zumindest vom Betrag der Summe der obigen Reihe. Aber wir wissen auch, dass man nicht immer Reihen einfach anders ausdrücken darf, weil sich sonst ggf. die Konvergenz ändert - und vielleicht ist das hier auch so ein Fall?
Teil A: Zum Quotientenkriterium haben wir uns folgendes überlegt:
Die Reihe $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}} [/mm] $ erfüllt das Quotientenkriterium nicht:
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}}}{\frac{1}{2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}}} [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}}{2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor}} [/mm]
Für gerade $ n $ gilt $ [mm] \lfloor \frac{n}{2} \rfloor [/mm] = [mm] \frac{n}{2} [/mm] $ und $ [mm] \lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor [/mm] = [mm] \frac{n}{2} [/mm] $:
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{2^{\frac{n}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}} [/mm] = 1
Es lässt sich also mit dem Quotientenkriterium keine Aussage treffen, ob die Teilreihe aller gerade $ n $ konvergiert.
Für ungerade $ n $ gilt $ [mm] \lfloor \frac{n}{2} \rfloor [/mm] = [mm] \frac{n-1}{2} [/mm] $ und $ [mm] \lfloor \frac{n + 1}{2} \rfloor [/mm] = [mm] \frac{n + 1}{2} [/mm] $:
[mm] \limes_{n \to \infty} \frac{2^{\frac{n-1}{2}}}{2^{\frac{n+1}{2}}} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} \frac{2^{\frac{n-1}{2}}}{2^{\frac{n-1}{2}} \cdot 2 }
[/mm]
= [mm] \frac{1}{2} [/mm]
Teil B: Ähnlich sind wir beim Wurzelkriterium vorgegangen, und haben uns die Teilreihen (darf man die überhaupt so nennen?) für gerade und ungerade n angesehen:
Zeige: $ [mm] \sqrt[n]{|2^{-\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}|} [/mm] < 1 $.
Fall 1: Betrachte den Grenzwert der Teilreihe mit $ n $ gerade. Dann gilt $ [mm] \lfloor \frac{n}{2} \rfloor [/mm] = [mm] \frac{n}{2} [/mm] $.
[mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{-\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}|} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{-\frac{n}{2}}|} [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(2^{-\frac{1}{2}})^n} [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} 2^{-\frac{1}{2}} [/mm]
= [mm] \frac{\sqrt{2}}{2} \approx [/mm] 0,71 < 1 [mm] \implies [/mm] Konvergenz
Fall 2: Betrachte den Grenzwert der Teilreihe mit $ n $ ungerade. Dann gilt $ [mm] \lfloor \frac{n}{2} \rfloor [/mm] = [mm] \frac{n-1}{2} [/mm] $.
[mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{-\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}|} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{-\frac{n-1}{2}}|} [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^{-\frac{n-1}{2}}} [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^{\frac{n}{2}} \cdot 2^{-\frac{1}{2}} } [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(2^{\frac{1}{2}})^n} \cdot \sqrt[n]{ 2^{-\frac{1}{2}} } [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[n]{ \frac{\sqrt{2}}{2} } [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{2}} \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{\sqrt{2}}{2} } [/mm]
= [mm] 2^{\frac{1}{2}} \cdot [/mm] 0 [mm] \\
[/mm]
= 0 < 1 [mm] \implies [/mm] Konvergenz
Vielen Dank schon Mal im vorraus für eure Hinweise und Kommentare!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Eure Umformung ist legal, da sie ja nur dasselbe anders schreibt.und nicht umordnet.
man kann also auch damit arbeiten.
2. auch die fallunterscheidungen sind richtig, wenn beide teilreihen konvergieren, allerdings ist da ein Fehler drin:
[mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{\sqrt{2}}{2} }\ne [/mm] 0
$ [mm] \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{\sqrt{2}}{2} }=1 [/mm] $
aber die erst Umformung ist besser!
Gruss leduart
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