Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 So 30.11.2008 | | Autor: | mcmiri |
| Aufgabe 1 | Welche der nachfolgenden Reihen sind konvergent, welche divergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
a) [mm] \summe_{n\ge0} \bruch{1}{\wurzel{n^3+n}+\wurzel{n+1}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n\ge0} \bruch{2^n+3^n}{4^n+5^n}
[/mm]
|
| Aufgabe 2 | Versuchen Sie das Konvergenzverhalten der beiden Reihen mit dem Quotientenkriterium zu bestimmen. Wenn das nicht geht, versuchen Sie Majoranten oder Minoranten zu finden.
a) [mm] \summe_{n\ge0} \bruch{1}{\wurzel{n^2+1}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n\ge0} \bruch{1}{\wurzel{n^4+1}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!!
Wir haben jetzt mit dem Thema Analysis angefangen und ich verstehe leider gar nichts...
Woher weiß ich denn welches Konvergenzkriterium (Majorantenkr., Minorantenkr., Grenzwertkr., Wurzelkr., oder Quotientenkr.) ich wann anwenden kann oder muss? Gibt es da irgendwelche Tricks? Und kann man auch einfach so nur den Limes errechnen?
Ein paar Aufgaben habe ich auch scon hingekriegt, aber bei diesen hier weiß ich einfach gar nicht weiter...
also zu Aufg.1 a) Wenn ich den Bruch so erweitere das ich keine Wurzeln mehr im Nenner habe, habe ich wieder Wurzeln im Zähler stehen und ich weiß auch sowieso nicht welches Kriterium...
zu Aufg 1 b) hier hätte ich wahrscheinlich das Wurzelkriterium wegen dem ^n angewendet...aber ich weiß trotzdem nicht wie man die zahlen irgendwie zusammenfassen kann...oder wie man überhaupt etwas ausrechnen kann...
zu Aufg2 a) mit dem Quotientenkriterium erhalte ich 1, also muss ich noch Minoranten oder Majoranten finden. Das verstehe ich. Aber wie findet man solche Vergleichsreihen... ich weiß nur das konvegenzverhalten von 1/n und [mm] 1/n^2...also [/mm] wie kann ich jetzt noch andere finden? weil die beiden helfen mir irgendwie nicht wirklich glaube ich...
zu Aufg2 b) auch hier erhalte ich 1 mit dem Quotientenkriterium und habe als majorante dann [mm] 1/n^2 [/mm] angegeben, ist das richtig?
|
|
| |
|
Hallo mcmiri,
> Welche der nachfolgenden Reihen sind konvergent, welche
> divergent? Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> a) [mm]\summe_{n\ge0} \bruch{1}{\wurzel{n^3+n}+\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n\ge0} \bruch{2^n+3^n}{4^n+5^n}[/mm]
>
>
> Versuchen Sie das Konvergenzverhalten der beiden Reihen mit
> dem Quotientenkriterium zu bestimmen. Wenn das nicht geht,
> versuchen Sie Majoranten oder Minoranten zu finden.
>
> a) [mm]\summe_{n\ge0} \bruch{1}{\wurzel{n^2+1}}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n\ge0} \bruch{1}{\wurzel{n^4+1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!!
>
> Wir haben jetzt mit dem Thema Analysis angefangen und ich
> verstehe leider gar nichts...
>
> Woher weiß ich denn welches Konvergenzkriterium
> (Majorantenkr., Minorantenkr., Grenzwertkr., Wurzelkr.,
> oder Quotientenkr.) ich wann anwenden kann oder muss? Gibt
> es da irgendwelche Tricks?
Das kann man pauschal nicht sagen, je mehr Reihen du verarztet hast, desto eher bekommst du ein Gespür, welches Kriterium erfolgversprechen sein könnte.
Sind Fakultäten in der Reihe, so hilft oft das QK, weil sich viel wegkürzt, zB. $\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{n!}{(n+1)\cdot{}n!}=\frac{1}{n+1}$
> Und kann man auch einfach so nur
> den Limes errechnen?
Was meinst du? Den Wert der Reihe? Das ist meistens nicht möglich, allenfalls kannst du durch bekannte konvergente Majoranten, deren GW du kennst (etwas geometr. Reihen) eine obere Schranke angeben
> Ein paar Aufgaben habe ich auch scon hingekriegt, aber bei
> diesen hier weiß ich einfach gar nicht weiter...
>
> also zu Aufg.1 a) Wenn ich den Bruch so erweitere das ich
> keine Wurzeln mehr im Nenner habe, habe ich wieder Wurzeln
> im Zähler stehen und ich weiß auch sowieso nicht welches
> Kriterium...
Hier würde ich das Majorantenkriterium benutzen, die Reihe ist ja vin der "Größenordnung" $\sum\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}$ und die Reihen $\sum\frac{1}{n^s}$ konvergieren für $s>1$ und divergieren für $s\le 1$
>
> zu Aufg 1 b) hier hätte ich wahrscheinlich das
> Wurzelkriterium wegen dem ^n angewendet...aber ich weiß
> trotzdem nicht wie man die zahlen irgendwie zusammenfassen
> kann...oder wie man überhaupt etwas ausrechnen kann...
Auch hier ist das Majorantenkriterium hilfreich, schätze gegen eine konvergente geometrische Reihe ab, du darsft zum Vergrößern deiner Reihe sowohl den Zähler vergrößern als auch den Nenner verkleinern
>
> zu Aufg2 a) mit dem Quotientenkriterium erhalte ich 1, also
> muss ich noch Minoranten oder Majoranten finden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das
> verstehe ich. Aber wie findet man solche
> Vergleichsreihen... ich weiß nur das konvegenzverhalten von
> 1/n und [mm]1/n^2...also[/mm] wie kann ich jetzt noch andere finden?
> weil die beiden helfen mir irgendwie nicht wirklich glaube
> ich...
Schiele wieder auf die Größenordnung der Reihe, das ist ja in etwa ganz grob [mm] $\sum\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum\frac{1}{n}$
[/mm]
Also würde man hier Divergenz vermuten, versuche also, deine Reihe zu verkleinern (Zähler verkleinern und/oder Nenner vergrößern), um gegen eine Variante der harmonischen Reihe als divergenter Minorante abzuschätzen
>
> zu Aufg2 b) auch hier erhalte ich 1 mit dem
> Quotientenkriterium und habe als majorante dann [mm]1/n^2[/mm]
> angegeben, ist das richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz genau!
LG
schachuzipus
|
|
|
|
