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Forum "Uni-Analysis" - Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterien < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenzkriterien: Reihen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:51 Di 14.12.2004
Autor: KingMob

Hallo,
kann mir bitte jemand einen Ansatz für folgende Aufgabe geben?
"Seien die Folgen (an) und (bn) mit n [mm] \in \IN [/mm] mit an > 0 und bn > 0 für alle n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an/bn = 1. Man zeige :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] an konvergiert genau dann, wenn  [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] bn konvergiert."
Mir ist schon klar, dass beide Richtungen des Beweises analog gehen müssen...
        
Bezug
Konvergenzkriterien: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Di 14.12.2004
Autor: Marcel

Hallo!

> Hallo,
>  kann mir bitte jemand einen Ansatz für folgende Aufgabe
> geben?

Okay: Tipps! :-)

>  "Seien die Folgen (an) und (bn) mit n [mm]\in \IN[/mm] mit an > 0

> und bn > 0 für alle n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] an/bn = 1.

Zunächst gebe dir ein festes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ (z.B. [mm] $\varepsilon=1$) [/mm] vor und zeige:

[mm] $(\star)$ [/mm] Es existiert ein [mm] $N=N_{\varepsilon} \in \IN$, [/mm] so dass [m]|a_n-b_n|<\varepsilon b_n[/m] [mm] ($\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$).

Sei nun [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} b_n$ [/mm] konvergent. Folgere dann mithilfe der Dreiecksungleichung:
Wegen [mm] $|a_n|=|a_n-b_n+b_n|\le |a_n-b_n|+\underbrace{b_n}_{=|b_n|,\;weil\;b_n > 0}$ ($\forall [/mm] n [mm] \in \IN$) [/mm] folgt dann mithilfe von [mm] $(\star)$ [/mm] auch die Konvergenz von [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n$. [/mm]

Umgekehrt:
Ist [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] konvergent, so beachte, dass mit [m]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=1[/m] auch [m]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{b_n}{a_n}=1[/m] gilt (warum?).
Der Rest geht dann vollkommen analog.

Hm, vielleicht nenne ich das doch besser Beweisskizze. ;-)

Viele Grüße,
Marcel
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