Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Sa 03.12.2005 | | Autor: | roxy |
Hallo,
ich soll mit Hilfe der Wurzelkriterium (ist [mm] \wurzel[k]{|a_{k}} \le [/mm] q < 1, so konvergiert [mm] \summe_{k=1}^{\infnty}a_{k} [/mm] absolut und Quotientenkriterium (gilt [mm] |a_{k+1}/a_{k}| \le [/mm] q < 1, so konvergiert [mm] \summe_{k=1}^{\infnty}a_{k} [/mm] absolut) die folgenden Reihen auf Konvergenz prüfen:
1. [mm] \summe_{k=1}^{\infnty}\frac{k^2+k2^k}{3^k}
[/mm]
mit Wurzelkriterium erhält man: [mm] \frac{k^2+k2^k}{3^k} [/mm] = [mm] \wurzel[k]{\frac{k^2+k2^k}{3^k}} =\wurzel[k] {\frac{k^2+k2^k}{\wurzel{3}}} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}\wurzel[k]{\frac{k^2}{2^k}+k} [/mm] = [mm] (\frac {k^2}{2^k} [/mm] + [mm] k)^\frac{1}{k} [/mm] ... wie geht´s weiter?
2. [mm] \summe_{k=1}^{\infnty}{3k \choose k}^{-1}
[/mm]
= [mm] (\frac{(3k)!}{k!(3k-k)!})^{-1}= (\frac{3}{k!})^{-1} [/mm] = [mm] \frac{k!}{3}
[/mm]
die Summe wird dann:
[mm] \frac{1}{3} \summe_{k=1}^{\infnty} [/mm] k! laut Quotientenkriterium erhält man [mm] \frac{k+1!}{k!} [/mm] < [mm] \frac{k!}{k!} [/mm] ( =1) [mm] \Rightarrow [/mm] die Summe ist konvergent - also mei q ist hier [mm] \frac{k!}{k!} [/mm] = 1 darf ich das so schreiben? oder [mm] \frac{k+1!}{k!} [/mm] = [mm] \frac{k!(k+1)}{k!} [/mm] = k+1 > k (=1) (also ist die Summe divergent!!)...offensichtlich mache ich was falsch, aber was??
3. [mm] \summe_{k=1}^{\infnty}\frac{k!}{k^k}
[/mm]
mit Quotientenkriterium erhält man:
[mm] \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}\frac{k^k}{k!}= \frac{k^k}{(k+1)^k} [/mm] = [mm] (\frac{k}{k+1})^k>(\frac{1}{k+1})^k [/mm] >1) [mm] \Rightarrow [/mm] die Summe ist divergent ...ist so richtig?
roxy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo roxy!
> 1. [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k2^k}{3^k}[/mm]
>
> mit Wurzelkriterium erhält man: [mm]\frac{k^2+k2^k}{3^k}[/mm] = [mm]\wurzel[k]{\frac{k^2+k2^k}{3^k}} =\wurzel[k] {\frac{k^2+k2^k}{\wurzel{3}}}[/mm]
Damit wirst Du nicht weiterkommen (von den Rechenfehlern beim zusammenfassen mal abgesehen).
Hier musst Du Diese Reihe zerlegen:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\frac{k^2+k*2^k}{3^k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{3^k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{k*2^k}{3^k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{3^k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k*\left(\frac{2}{3}\right)^k$
[/mm]
Und nun beide Reihen separat untersuchen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 04.12.2005 | | Autor: | roxy |
Hallo Loddar,
erstmal vielen Dank für die ausfürlichen Antworten!
ich habe hier die beide Summen mit Wurzelkriterium untersucht, u.z.:
1)
für [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k*\left(\frac{2}{3}\right)^k [/mm] gilt:
da [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[n]{ |a_{n}|} [/mm] = [mm] \left(\frac{2}{3}\right) [/mm] lim [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] = [mm] \left(\frac{2}{3}\right) [/mm] < 1 -> konvergiert die Reihe
( [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k*\left(\frac{2}{3}\right)^k [/mm] = [mm] \left(\frac{2}{3}\right) [/mm] + [mm] 2\left(\frac{2}{3}\right)^2 [/mm] + 3 [mm] \left(\frac{2}{3}\right)^3 [/mm] + ...)
das Gleiche habe ich auch für die zweite Summe gemacht und [mm] ...\left(\frac{1}{3}\right) [/mm] < 1 erhalten, also auch konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] die zwei Teilsummen sind konvergent, also konvergiert die ganze Summe
...hoffentlich stimmt das jetzt...
Gruß,
roxy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo roxy!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 So 04.12.2005 | | Autor: | roxy |
Danke! 
die anderen 2 habe ich auch als konvergent herausbekommen...(falls ich mich nicht schon wieder verrechnet habe...)
Gruß,
roxy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo roxy!
> die anderen 2 habe ich auch als konvergent herausbekommen...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich ebenfalls ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo roxy!
Hier musst Du den Binomialkoeffizienten genauer betrachten, den hast Du falsch zusammmengafasst:
[mm] $\vektor{3k \\ k}^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{(3k)!}{k!*(3k-k)!}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{(3k)!}{k!*(2k)!}\right)^{-1} [/mm] \ = \ \ = \ [mm] \bruch{k*(2k)!}{(3k)!}$
[/mm]
Nun das Quotientenkriterium anwenden. Beachte, dass gilt:
$[3*(k+1)]! \ = \ (3k+3)! \ = \ (3k)!*(3k+1)*(3k+2)*(3k+3)$
Für $[2*(k+1)]!_$ analog ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> [mm]\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}\frac{k^k}{k!}= \frac{k^k}{(k+1)^k}[/mm] = [mm](\frac{k}{k+1})^k>(\frac{1}{k+1})^k[/mm] >1)
Deine letzte Abschätzung mit dem $> \ [mm] \bruch{1}{(k+1)^k}$ [/mm] ist falsch.
Es gilt:
[mm] $\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{k}{k+1}\right)^{-1}*\left(\bruch{k}{k+1}\right)^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k+1}{k}*\left(\bruch{k+1-1}{k+1}\right)^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k+1}{k}*\left(\bruch{k+1}{k+1}-\bruch{1}{k+1}\right)^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k+1}{k}*\left(1+\bruch{-1}{k+1}\right)^{k+1}$
[/mm]
Nun verwende: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
Gruß
Loddar
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