Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz!
[mm] $P(X)=\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{2^2}+\bruch{x^3}{2^3}+\bruch{x^4}{2^4}+...$ [/mm] |
Ich bin so vorgegangen, dass ich zunächst das Nullfolgekriterium überprüft habe:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = 0$
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{x^n}{2^n}$
[/mm]
Was muss ich jetzt für x einsetzen? Mir ist klar, dass wenn $x<|2|$ das Kriterium erfüllt ist, aber es muss doch einen Weg geben das rechnerisch zu ermitteln.
Da ja das Nullfolgenkriterium nicht hinreichend ist, habe ich noch das Quotientenkriterium angewendet:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = q < 1 $ mit
[mm] $a_n=\bruch{x^n}{2^n}$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}=\bruch{x^{n+1}}{2^{n+1}}$
[/mm]
Auch hier habe ich wieder x=1 gesetzt und bin so auf [mm] $q=\bruch{1}{2}$ [/mm] gekommen.
Meine Frage also: Wie komme ich darauf, was ich für x einsetzen muss?
Alles Blödsinn was oben steht.
Bei Potenzreihen muss ich als [mm] $a_n [/mm] * [mm] x^n$ [/mm] betrachten und kann das Konvergenzverhalten über den Konvergenzradius bestimmen mit
$ r = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] $ was in diesem Fall 2 ist. Somit ist die Potenzreihe für alle $x<|r|$ konvergent.
Wie drückt es sich denn aus, wenn sie divergent ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mo 24.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
da der Konvergenzradius 2 ist konvergiert die Reihe für |x|<2 (absolut und gleichmäßig), für |x|>2 divergiert sie. Untersuche nun die Reihe für |x|=2 auf Konvergenz.
Liebe Grüße
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