matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenzkreise
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzkreise
Konvergenzkreise < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzkreise: Verständnis u. Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Do 03.05.2012
Autor: Horst_1991

Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius [mm] \rho [/mm] der folgenden Reihen und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals für z [mm] \in \IR. [/mm] Skizzieren Sie die Konvergenzkreise.

(a) [mm] \summe_{j=0}^{\infty} (\bruch{2j^2 +j -1}{3j^2+2j+17})^j z^j [/mm]

(b) - (d) Versuch ich später




Hallo,

also zunächst einmal ist die Bestimmung des Konvergenzradius in unserem Buch wie folgt beschrieben:

Die Reihe [mm] \summe_{j=0}^{\infty}a_j(z-z_0)^j [/mm] habe den Konvergenzradius [mm] \rho, [/mm] und es gelte
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{|a_n|}^n [/mm] = a (n-te Wurzel) oder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = a
1. Ist a=0, so gilt [mm] \rho [/mm] = [mm] +\infty [/mm]
2. Ist [mm] a=+\infty, [/mm] so gilt [mm] \rho=0 [/mm]
3. Ist [mm] 0
Da in (a) das ganze hoch j ist, hätte ich das "Wurzelkriterium" verwendet. Daraus folgt:

[mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel{(\bruch{2j^2 +j -1}{3j^2+2j+17})^j }^j [/mm]

= [mm] (\bruch{2j^2 +j -1}{3j^2+2j+17}) [/mm]

= [mm] (\bruch{j^2(2+ \bruch{1}{j}- \bruch {1}{j^2})}{j^2(3+ \bruch{2}{j}+\bruch{17}{j^2}}) [/mm]

für [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} (\bruch{j^2(2+ \bruch{1}{j}- \bruch {1}{j^2})}{j^2(3+ \bruch{2}{j}+\bruch{17}{j^2}}) [/mm]  = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]  = a

Und daraus ergibt sich der Konvergenzradius [mm] \rho=\bruch{1}{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{2}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm]

Stimmt die Aufgabe bis hier hin ?

Und was ist jetzt mit dem Rändern ?

        
Bezug
Konvergenzkreise: Korrekktur und Querverweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:48 Do 03.05.2012
Autor: Loddar

Hallo Horst!


Siehe mal hier; da wird gerade dieselbe Aufgabe behandelt.


> Da in (a) das ganze hoch j ist, hätte ich das
> "Wurzelkriterium" verwendet.

[ok]


> Daraus folgt: [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel{(\bruch{2j^2 +j -1}{3j^2+2j+17})^j }^j[/mm]

Was macht das $j_$ im Exponenten dort? Du meinst wohl die $j_$-te Wurzel.
Schreibe dafür: [mm] $\wurzel[j]{bla}$ [/mm] .


> = [mm](\bruch{2j^2 +j -1}{3j^2+2j+17})[/mm]
>  
> = [mm](\bruch{j^2(2+ \bruch{1}{j}- \bruch {1}{j^2})}{j^2(3+ \bruch{2}{j}+\bruch{17}{j^2}})[/mm]
>
> für [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} (\bruch{j^2(2+ \bruch{1}{j}- \bruch {1}{j^2})}{j^2(3+ \bruch{2}{j}+\bruch{17}{j^2}})[/mm]
>  = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]  = a

[ok]


> Und daraus ergibt sich der Konvergenzradius
> [mm]\rho=\bruch{1}{a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\bruch{2}{3}}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]

[ok]


> Stimmt die Aufgabe bis hier hin ?
>  
> Und was ist jetzt mit dem Rändern ?

Setze die Randwerte in die Ausgangsreihe ein und untersuche auf Konvergenz / Divergenz.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Konvergenzkreise: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Fr 04.05.2012
Autor: Horst_1991

Erstmal danke für den Tipp mit den n-ten Wurzeln, die Schreibweise war mir nicht bekannt.

Jetzt hab ich aber noch ne kleine Frage, für [mm] x_1=\bruch{3}{2} [/mm] und [mm] x_2=\bruch{-3}{2} [/mm] überprüf ich ja jetzt noch auf konvergenz bzw. divergenz, und kann danach entscheiden ob der Rand konvergiert oder divergiert.

Gibt es hier einen Trick, vor allem für Klausuren, um Zeit zu sparen. In den Hausübung nehm ich Wolfram Alpha, aber in Klausuren sind Hilfsmittel nunmal nicht erlaubt.


Bezug
                        
Bezug
Konvergenzkreise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:30 Fr 04.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Erstmal danke für den Tipp mit den n-ten Wurzeln, die
> Schreibweise war mir nicht bekannt.
>  
> Jetzt hab ich aber noch ne kleine Frage, für
> [mm]x_1=\bruch{3}{2}[/mm] und [mm]x_2=\bruch{-3}{2}[/mm] überprüf ich ja
> jetzt noch auf konvergenz bzw. divergenz, und kann danach
> entscheiden ob der Rand konvergiert oder divergiert.
>
> Gibt es hier einen Trick, vor allem für Klausuren, um Zeit
> zu sparen. In den Hausübung nehm ich Wolfram Alpha, aber
> in Klausuren sind Hilfsmittel nunmal nicht erlaubt.

Hallo,

einen Universaltrick, der fü alle Reihen funktioniert, gibt es nicht.
Du mußt die Randpunkte halt einsetzen ganz normal die Konvergenz der entstehenden Reihen untersuchen.

LG Angela

>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]