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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Fry |
Huhu,
ich kann Konvergenzgeschwindigkeiten über nicht einschätzen, also was schnell und was langsam konvergiert, wenn man Konvergenzordnung gegeben hat.
Habt ihr vielleicht ein paar Beispiele dazu?
Was ist zum Beispiel mit der Konvergenzordnung [mm] O(a^n)
[/mm]
wobei a ein feste Zahl zwischen 0 und 1 ist.
Ist das langsam?
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Sa 25.02.2012 | | Autor: | Denny22 |
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> Huhu,
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> ich kann Konvergenzgeschwindigkeiten über nicht
> einschätzen, also was schnell und was langsam konvergiert,
> wenn man Konvergenzordnung gegeben hat.
> Habt ihr vielleicht ein paar Beispiele dazu?
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> Was ist zum Beispiel mit der Konvergenzordnung [mm]O(a^n)[/mm]
> wobei a ein feste Zahl zwischen 0 und 1 ist.
Ich weiß zwar nicht, ob Du mit numerischer Mathematik vertraut bist, aber mein Beispiel kommt aus dem Bereich: In der Numerik kannst Du Dir unter $a$ die Schrittweite eines numerischen Verfahres vorstellen. Die Bezeichnung ist hierbei üblicherweise $h$ anstelle von $a$. Dies liegt gewöhnlich zwischen 0 und 1 und man interessiert sich für kleine Werte von $a$. Der Grund dafür ist, dass man eine numerische Lösung hat (die mittels einem Verfahren berechnet wird), die gegen die analytische Lösung konvergieren soll, wenn man $a$ gegen $0$ laufen lässt. [mm] $O(a^n)$ [/mm] bedeutet nun, dass sich der Fehler zwischen numerischer und analytischer Lösung polynomiell mit Ordnung $n$ verhält. Zeichne Dir einmal die Funktionen $a$, [mm] $a^2$, $a^3$, [/mm] u.s.w. im Intervall $]0,1[$. Dann siehst Du dass $a$ oberhalb von [mm] $a^2$, $a^2$ [/mm] oberhalb von [mm] $a^3$, [/mm] u.s.w. liegt. Der Fehler wird also für größere $n$ wesentlich schneller klein.
> Ist das langsam?
Das lässt sich schwer sagen. Es hängt immer von dem Aufgabenbereich ab. Grundsätzlich sollte man mindestens zwei Verfahren haben, für die man die Konvergenzgeschwindigkeit (d.h. eine solche $O$ Notation) angeben kann. Das Verfahren, bei dem das $n$ größer ist, konvergiert schneller.
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> LG
> Fry
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