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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Black90 |
| Aufgabe | | Eine Folge [mm] (fn)_{n \in \mathbb N} [/mm] aus C [mm] (\mathbb R^d, \mathbb [/mm] C) konvergiert genau dann bzgl der Norm [mm] ||f||:=\sum_{k \in N} 2^{-k} \frac{ sup_{x \in [-k,k]} |f(x)|}{1+sup_{x \in [-k,k]} |f(x)|}, [/mm] f [mm] \in [/mm] C [mm] (\mathbb R^d, \mathbb [/mm] C) wenn [mm] (f_n)_{n \in \mathhb N} [/mm] lokal gleichmäßig konvergiert |
Mir fehlt bischen die Idee bei der Aufgabe.
Wenn die [mm] (f_n) [/mm] lokal gleichmäßig konvergent sind, dann gilt ja dass es für alle x offene Umgebungen gibt, so dass [mm] sup_{y \in U_x} |f_n(y)-f(y)| \rightarrow [/mm] 0
Ich wollte nun zuerst [mm] \Leftarrow [/mm] zeigen.
Nun sind das in der definierten Norm aber keine offenen Mengen mehr auf denen das Supremum betrachtet wird.
Hat vielleicht jemand nen Tipp wie ich hier rangehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:55 Di 16.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Eine Folge [mm](fn)_{n \in \mathbb N}[/mm] aus C [mm](\mathbb R^d, \mathbb[/mm]
> C) konvergiert genau dann bzgl der Norm [mm]||f||:=\sum_{k \in N} 2^{-k} \frac{ sup_{x \in [-k,k]} |f(x)|}{1+sup_{x \in [-k,k]} |f(x)|},[/mm]
> f [mm]\in[/mm] C [mm](\mathbb R^d, \mathbb[/mm] C) wenn [mm](f_n)_{n \in \mathhb N}[/mm]
> lokal gleichmäßig konvergiert
> Mir fehlt bischen die Idee bei der Aufgabe.
> Wenn die [mm](f_n)[/mm] lokal gleichmäßig konvergent sind, dann
> gilt ja dass es für alle x offene Umgebungen gibt, so dass
> [mm]sup_{y \in U_x} |f_n(y)-f(y)| \rightarrow[/mm] 0
>
> Ich wollte nun zuerst [mm]\Leftarrow[/mm] zeigen.
>
> Nun sind das in der definierten Norm aber keine offenen
> Mengen mehr auf denen das Supremum betrachtet wird.
> Hat vielleicht jemand nen Tipp wie ich hier rangehen kann?
Die Funktionen [mm] f_n [/mm] sind auf [mm] \IR^d [/mm] definiert. Für k [mm] \in \IN [/mm] ist [-k,k] eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] !
Wie ist dann [mm] sup_{x \in [-k,k]} [/mm] |f(x)| zu verstehen ? Klär mich auf.
Tipp: [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf [mm] \IR^d [/mm] lokal gleichmäßig [mm] \gdw (f_n) [/mm] konvergiert auf jeder kompakten Teilmenge des [mm] \IR^d [/mm] gleichmäßig.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:55 Di 16.04.2013 | | Autor: | Black90 |
Danke für deine Antwort.
Sorry hatte mich vertippt, da fehlt noch ein d bei [mm] [-k,k]^d.
[/mm]
Dein Tipp klingt schonmal sehr gut, damit bekomm man ja direkt schon [mm] \Leftarrow.
[/mm]
Die andere Richtung scheint mir da etwas schwieriger zu sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 18.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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