Konvergenzbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Fr 06.11.2009 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | | Seien [mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] und [mm] (b_n)_{n\in \IN} [/mm] Folgen mit [mm] a_n \not=0 \not= b_n. [/mm] Es gebe ein q mit 0<q<1 und ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass gilt [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|\le [/mm] q für alle n [mm] \ge [/mm] N. Beweisen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0. [/mm] |
Hey,
Also ich komme da irgendwie nicht weiter bei diesem Beweis.
Man sieht ja eigentlich, dass [mm] |a_{n}|>|a_{n+1}| [/mm] gilt, weil [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|<1 [/mm] gilt. Aber wie ich da jetzt auf die Konvergenz komme weiß ich nicht.
Wahrscheinlich ist hat das auch irgendwas mit der Beschränktheit zu tun?
Kann mir da mal jemand einen Tipp geben. Wäre super :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast: $ [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|\le [/mm] $ q für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ N
Zeige induktiv:
[mm] $|a_{k+N}| \le |a_N|*q^k$ [/mm] für jedes k [mm] \in \IN
[/mm]
und bedenke, dass [mm] (q^k) [/mm] eine Nullfolge ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 06.11.2009 | | Autor: | aly19 |
Hmm ja, ich weiß gar nicht wie du auf das [mm] q^k [/mm] kommst, und wieso ich das beweisen muss, um letztendlich die Konvergenz gegen Null zu zeigen. Vielleicht kannst du das noch erklären?
So ich soll also induktiv zeigen $ [mm] |a_{k+N}| \le |a_N|\cdot{}q^k [/mm] $.
Ich wüsste jetzt nich was ich da machen soll, vollständige induktion?
Ich kann sagen für k=0 steht da
$ [mm] |a_{N}| \le |a_N|
[/mm]
was ja stimmt.
Und jetzt für k+1?
Tut mir leid aber ich weiß wirklich nicht wie ich das machen soll, da ich ja auch keine konkrete folge habe.
vielleicht kannst du etwas genauer sagen, was ich warum machen sollte.
viiiiielen dank schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
[mm] $|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|\le [/mm] q$ für n [mm] \ge [/mm] N. Das mußt Du natürlich in den Induktionsbeweis einbringen !!!!
Nehmen wir mal an, Du hättest gezeigt, dass:
$ [mm] |a_{k+N}| \le |a_N|\cdot{}q^k [/mm] $ für k [mm] \ge [/mm] N
Was macht die Folge [mm] (|a_N|q^k) [/mm] für k [mm] \to \infty [/mm] ?
Antwort: geht gegen Null. Was macht dann die Folge [mm] (a_{k+N}) [/mm] für k [mm] \to \infty [/mm] ?
Und was macht dann [mm] (a_n) [/mm] ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Fr 06.11.2009 | | Autor: | aly19 |
okay also
I.A. k=0 [mm] |a_N|\le |a_N| [/mm]
I.V. Sei $ [mm] |a_{k+N}| \le |a_N|\cdot{}q^k [/mm] $ für alle k?
I.S.
[mm] |a_{k+N+1}| \le q*|a_{N+k}| \le q*|a_N|\cdot{}q^k =|a_N|*q^{k+1}
[/mm]
wobei anfangs [mm] |a_{n+1}| \le |a_n|*q [/mm] verwendet wurde.
Da [mm] |a_N|\cdot{}q^k [/mm] für [mm] k->\infty [/mm] gegen Null geht, und [mm] |a_{k+N}| [/mm] kleiner [mm] |a_N|\cdot{}q^k [/mm] ist, geht auch [mm] |a_{k+N}| [/mm] gegen Null.
und daraus soll ich schließen können, dass auch [mm] a_n [/mm] für n -> [mm] \infty [/mm] gegen Null geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> okay also
> I.A. k=0 [mm]|a_N|\le |a_N|[/mm]
> I.V. Sei [mm]|a_{k+N}| \le |a_N|\cdot{}q^k[/mm] für alle k?
" ... für alle k .. " ist Unfug (da gibts ja nichts mehr zu zeigen !)
Besser: ".....für ein k ..."
> I.S.
> [mm]|a_{k+N+1}| \le q*|a_{N+k}| \le q*|a_N|\cdot{}q^k =|a_N|*q^{k+1}[/mm]
>
> wobei anfangs [mm]|a_{n+1}| \le |a_n|*q[/mm] verwendet wurde.
>
> Da [mm]|a_N|\cdot{}q^k[/mm] für [mm]k->\infty[/mm] gegen Null geht, und
> [mm]|a_{k+N}|[/mm] kleiner [mm]|a_N|\cdot{}q^k[/mm] ist, geht auch [mm]|a_{k+N}|[/mm]
> gegen Null.
>
> und daraus soll ich schließen können, dass auch [mm]a_n[/mm] für
> n -> [mm]\infty[/mm] gegen Null geht?
Na klar !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Fr 06.11.2009 | | Autor: | aly19 |
okay so ganz versteh ich das noch nicht, aber egal.
wenn man das so macht.
ja ich wusste nicht ob für k [mm] \in \IN [/mm] oder für k [mm] \ge [/mm] N , du hattest beides verwendet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> okay so ganz versteh ich das noch nicht, aber egal.
> wenn man das so macht.
Mann oh Mann !
Für andere , die es interessiert:
Wir haben: N [mm] \in \IN [/mm] und [mm] |a_{N+k}| \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Es gibt ein [mm] k_0 [/mm] mit: [mm] |a_{N+k}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für k [mm] \ge k_0
[/mm]
Setze [mm] n_0 [/mm] = [mm] N+k_0. [/mm] Dann:
[mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n [mm] \ge n_0
[/mm]
FRED
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