matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenzbeweis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzbeweis
Konvergenzbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 So 26.10.2008
Autor: mathpsycho

Aufgabe
Keine.

Woran liegt es, dass [mm] \summe_{k=1}^\infty{\bruch{1}{k^n}} [/mm] für n>1 konvergiert und für n [mm] \le [/mm] 1 divergiert?

        
Bezug
Konvergenzbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 So 26.10.2008
Autor: uliweil

Hallo Falk,

gute Frage. Letztlich am Logarithmus [mm] (\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i} \approx [/mm] ln(n) + [mm] \gamma). [/mm]

Schau Dir mal zu diesem Thema den Artikel über die harmonische Reihe in Wikipedia an. Vielleicht bringt das mehr Erkenntnis.

Gruß

Uli

Bezug
        
Bezug
Konvergenzbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 So 26.10.2008
Autor: HJKweseleit

Dich wundert sicher, dass diese Eigenschaft so "schlagartig" eintritt. Das ist aber bei Konvergenzen oft so: Die geometrische Reihe konvergiert für |q|<1 und für |q|=1 schlagartig nicht mehr, und dieses Verhalten findest du überall für endliche Konvergenzradien von Potenzreihen.

Nun zu deinem Problem:
Zeichne zur gesuchten Summe

[mm]\summe_{k=1}^\infty{\bruch{1}{k^n}}[/mm]

den Gaphen von [mm] f(x)= \bruch{1}{x^n}}[/mm].

[Dateianhang nicht öffentlich]

Deine Summanden sind dann die Werte f(1), f(2), f(3)..., die du aufsummieren sollst. Diese Werte findest du als Höhen der von mir eingezeichneten roten Linien wieder.

Ergänzt man diese Linien nun durch einen entsprechend hohen Balken der Breite 1, so entspricht die Fläche dieses Balkens gerade dem Wert des jeweiligen Summanden. Also gibt die Gesamtfläche der Balken den Wert der Summe wieder.

Für n=1 ziehst du die Balkenbreiten immer nach rechts (der Balken steht rechts von der Ausgangshöhe), so dass du die grüne+gelbe Fläche als Summand bekommst. Die Summe besteht somit aus der grünen+gelben Gesamtfläche und ist somit größer als die Fläche unterhalb des Graphen. Diese Fläche ist aber

[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch {1}{x} dx}=ln(\infty)-ln(1)=\infty [/mm]

Also divergiert die Reihe.

Für n>1 ziehst du die Balkenbreiten immer nach links (der Balken steht links von der Ausgangshöhe), so dass du nur die grüne Fläche als Summand bekommst. Die Summe besteht somit aus dem ersten Summanden 1 (hier nicht eingezeichnet) und der der grünen Gesamtfläche und ist somit kleiner als die Fläche unterhalb des Graphen + 1. Diese Fläche ist aber

[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch {1}{x^n} dx}=\left[\bruch{1}{(1-n)x^{n-1}}\right]_{1}^{\infty}=\bruch{1}{(1-n)\infty^{n-1}}-\bruch{1}{(1-n)1^{n-1}}=0-(\bruch{1}{(1-n)})=\bruch{1}{(n-1)}. [/mm]

Also konvergiert die Reihe, weil sie einen kleineren Wert als [mm] 1+\bruch{1}{(n-1)}= \bruch{n}{(n-1)}hat. [/mm]






Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Konvergenzbeweis: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:36 So 26.10.2008
Autor: mathpsycho

Vielen Dank! Die Idee die zugehörige Integralfunktion für den Fall n>1 als konvergente Majorante zu benutzen finde genial. Außerdem kann man sie verschieben und als divergente Minorante verwenden, um nachzuweisen, dass die Reihe für n<1 divergiert. Der sprunghafte Übergang von Divergenz zu Konvergenz bei n=1 passt gut damit zusammen, dass die Potzenregel für n=-1 nicht gilt. Für n [mm] \not= [/mm] 1 finde ich es wegen des Unterschieds zwischen einem positiven oder negativen Exponenten ebenfalls einleuchtend. Du hast mir wirklich sehr geholfen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]