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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[...]
c)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n^{9}}{9^{n}} [/mm] |
Hallo,
das obige ist eine alte Klausuraufgabe.
Ich persönlich wollte das ganze per Leibnitz-Kriterium lösen, bin aber gescheitert.
Bei einem Blick in die Musterlösung musste ich feststellen, dass das dort mit dem Wurzelkriterium gelöst wurde.
Hier bin ich nun vollends verwirrt, da ich bislang dachte, dass man das Wurzel-Kriterium nicht auf alternierende Reihen anwenden kann / darf / soll.
Aus der Musterlösung:
Behauptung:
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n^{9}}{9^{n}} [/mm] konvergiert.
Beweis:
Setze [mm] a_{n} [/mm] := [mm] (-1)^{n} \bruch{n^{9}}{9^{n}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt:
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[n]{n^{9}}}{9} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} (\wurzel[n]{n})^{9} \to \bruch{1}{9} \* 1^{9} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} [/mm] < 1
Das mit dem Limes und dem Wurzelkriterium an sich ist mir klar, allerdings ist mir unklar, wie man hier zu der Entscheidung kommt, dass das Wurzelkriterium anwendbar ist, da ja das normalerweise nicht für alternierende Reihen gedacht ist, oder?
Schon im Voraus vielen Dank für Eure Bemühungen!
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Hallo,
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
> [...]
> c)
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n^{9}}{9^{n}}[/mm]
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> Hallo,
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> das obige ist eine alte Klausuraufgabe.
> Ich persönlich wollte das ganze per Leibnitz-Kriterium
> lösen, bin aber gescheitert.
> Bei einem Blick in die Musterlösung musste ich
> feststellen, dass das dort mit dem Wurzelkriterium gelöst
> wurde.
> Hier bin ich nun vollends verwirrt, da ich bislang dachte,
> dass man das Wurzel-Kriterium nicht auf alternierende
> Reihen anwenden kann / darf / soll.
>
> Aus der Musterlösung:
> Behauptung:
> Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n^{9}}{9^{n}}[/mm]
> konvergiert.
>
> Beweis:
> Setze [mm]a_{n}[/mm] := [mm](-1)^{n} \bruch{n^{9}}{9^{n}}[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN.[/mm] Dann gilt:
> [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel[n]{n^{9}}}{9}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{9} (\wurzel[n]{n})^{9} \to \bruch{1}{9} \* 1^{9}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{9}[/mm] < 1
>
> Das mit dem Limes und dem Wurzelkriterium an sich ist mir
> klar, allerdings ist mir unklar, wie man hier zu der
> Entscheidung kommt, dass das Wurzelkriterium anwendbar ist,
> da ja das normalerweise nicht für alternierende Reihen
> gedacht ist, oder?
Da hat sich bei dir wahrscheinlich eine Unwahrheit eingehämmert 
Wurzel und Minus passt eigentlich auch nicht gut zusammen.
Aber nicht umsonst lautet es im Wurzelkriterium:
[mm] $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\red{|}a_{n}\red{|}} [/mm] < 1$,
also mit Beträgen. Du kannst das Wurzelkriterium auch jederzeit bei alternierenden Reihen einsetzen.
Mit dem Leibniz-Kriterium hättest du hier auch Erfolg haben können. Allerdings wählt man bei Reihen mit Verknüpfungen von "Polynomen" ( [mm] n^{...} [/mm] ) und Exponentialfunktionen ( [mm] (...)^{n} [/mm] ) eher das Wurzelkriterium, denn es gilt:
[mm] $\sqrt[n]{n^{k}}\to 1\quad (n\to\infty)$ [/mm] für jedes beliebige [mm] k\in\IN.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Di 09.03.2010 | | Autor: | LeereDose |
Ahja, danke. ;)
Über das mit dem Betrag bin auch deshalb auch schon gestolpert.
Da muss ich wohl nochmal nachforschen weshalb ich irrtümlicherweise irgendwann mal meinte, irgendwo gehört zu haben, dass das so nicht geht.
Vielen Dank für Deine Erklärung!
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