Konvergenzbereich von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Do 08.12.2005 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
bei folgender Aufgabe bin ich mit meinem Latein (stellenweise am Ende):
Geben Sie einen Konvergenzbereich für die folgenden Reihen an:
i) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{z^n}{n}
[/mm]
ii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n!*z^n}{(2n)!}
[/mm]
iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(1+i)^n}{2^n}
[/mm]
Mein Problem: Wir hatten in der Vorlesung weder das Wurzelkriterium, noch den Satz von Cauchy/Hamadard. Damit könnte man wohl zumindest die i) lösen.. Es wurde lediglich gesagt, dass man Reihen im Komplexen ähnlich wie Reihen im Reellen mit Hilfe des Majoranten- oder Quotientenkriteriums auf Konvergenz untersuchen kann. Dies haben wir bereits mehrmals gemacht, doch wurde bislang noch nie der Konvergenzbereich bzw. -radius bestimmt. Anwendung von irgendwelchen Sätzen, die in der Vorlesung nicht besprochen wurden, sind in den Übungen nicht erwünscht und führen zu Punktabzug - daher frage ich mich nun, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Wäre für jede Hilfe sehr dankbar.
Idee zu ii): Könnte ich hier das Quotientenkriterium anwenden? - Denn dort erhalte ich als Lösung, dass die Reihe für alle z konvergiert. Stimmt dies?
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Hallo!
Diese drei Reihen kannst alle mit dem Quotientenkriterium in den Griff kriegen! Für die zweite hast du das ja anscheinend auch schon gut gemacht, schließlich stimmt dein Ergebnis! Versuch doch nochmal, das Quotientenkriterium auf die anderen beiden Reihen anzuwenden!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 08.12.2005 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank!
Bei der ersten Reihe erhalte ich nun folgendes Ergebnis:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |z| [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] = |z| < [mm] \Theta [/mm] :=1
Das bedeutet, dass |z| < 1 sein muss, damit die Reihe konvergiert?
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Hallo Commotus,
> Vielen Dank!
Gern geschehen!
> Bei der ersten Reihe erhalte ich nun folgendes Ergebnis:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] |z| [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] = |z| <
> [mm]\Theta[/mm] :=1
>
> Das bedeutet, dass |z| < 1 sein muss, damit die Reihe
> konvergiert?
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
So ist es! Der Konvergenzradius ist 1!
Es ist allerdings nicht so, dass $|z|<1$ sein muss, damit die Reihe konvergiert. Z.B. konvergiert die Reihe für $z=1$, allerdings nicht für $z=-1$.
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 08.12.2005 | | Autor: | Commotus |
Und nun habe ich noch eine Frage zu dritten Aufgabe:
Ich komme zu folgendem Ausdruck:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] |0,5+0,5i| = [mm] \bruch{1}{\wurzel(2)} [/mm] < 1
Was kann ich nun über den Konvergenzradius aussagen? Immerhin habe ich somit nur die Konvergenz bewiesen, aber nicht genau den Konvergenzbereich bestimmt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 08.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Commotus!
Die letzte Reihe ist ja gar keine Potenzreihe, daher kann man auch keinen Konvergenzradius bestimmen.
Es stimmt aber, dass die Reihe wegen
[mm] $\vert \frac{1+i}{2} \vert [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] <1$
konvergiert. (Ist ja eine geometrische Reihe...)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 08.12.2005 | | Autor: | Commotus |
Ist denn nicht [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(1+i)^n}{2^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{2^n} [/mm] mit z:=1+i ebenfalls eine Potenzreihe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Do 08.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein. Eine Potenzreihe ist von der Form
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n$
[/mm]
mit der Unbekannten $z$.
Liebe Grüße
Stefan
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